北京市2009届高三数学期末试题分类汇总－圆锥曲线
1、（2009崇文区）已知点
，直线
，点B是l上的动点， 过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是 A
（A）抛物线 （B）椭圆 （C）双曲线的一支 （D）直线
3、（2009丰台区）．双曲线
的焦点坐标为（ ）D
A．（? 1，0），（1，0） B
（? 3，0），（3，0）
C．（0，? 1），（0，1） D．（0，? 3），（0，3）
4、（2009东城区）已知垂直竖在水平地面上相距
到两旗杆顶点的仰角相等,则点的轨迹是( )B
A.椭圆
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
5、（2009海淀区）抛物线
的准线方程为
（ ）A
A．
B．
C．
D．
6、（2009西城区）已知圆
的圆心为M，设A为圆上任一点，
，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 （ ）B
A. 圆 B. 椭圆
C. 双曲线 D. 抛物线
7、（2009崇文区）已知椭圆
的中心在坐标原点，左顶点
，离心率
，
为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、
两点（不同于点
）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当
时，求直线PQ的方程；
（Ⅲ）判断
能否成为等边三角形，并说明理由．
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
(a>b>0) ，
由已知 
∴
----------------------------------2分
∴ 椭圆方程为
．
---------------------------------------------4分
（Ⅱ）解法一
椭圆右焦点
．
设直线方程为
（
∈R）．
-------------------------------5分
由
得
．①
-----------6分
显然，方程①的
．
设
，则有
． ----7分
．
∵
，
∴
．
解得
．
∴直线PQ 方程为
，即
或
． ----------9分
解法二： 椭圆右焦点．
当直线的斜率不存在时，
，不合题意．
设直线方程为
，
--------------------------------------5分
由
得
． ① ----6分
显然，方程①的．
设，则
． --------7分
=
．
∵，
∴
，解得
．
∴直线
的方程为
，即或． --------9分
（Ⅲ）
不可能是等边三角形．
------------------------------------------------11分
如果是等边三角形，必有
，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
，或
（无解）．
而当时，
，不能构成等边三角形．
∴不可能是等边三角形．--------------------------------------------------------14分
8、（2009丰台区）设椭圆M：(a＞b＞0)的离心率为
，长轴长为
，设过右焦点F倾
斜角为
的直线交椭圆M于A，B两点。
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求证| AB | =
；
（Ⅲ）设过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，求|AB| + |CD|的最小
值。
解：（Ⅰ）
所求椭圆M的方程为
…3分
（Ⅱ）当≠
，设直线AB的斜率为k = tan，焦点F ( 3 , 0 )，则直线AB的方程为
y = k ( x ? 3 ) 有
( 1 + 2k2 )x2 ? 12k2x + 18( k2 ? 1 ) = 0
设点A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 有x1 + x2 =
, x1x2 =
|AB| =
** … 6分
又因为 k = tan=
代入**式得
|AB| =
………… 8分
当=时，直线AB的方程为x = 3，此时|AB| =
……………… 10分
而当=时，|AB|
==
综上所述 所以|AB|
=
（Ⅲ）过右焦点F且与直线AB垂直的直线交椭圆M于C，D，
同理可得 |CD| =
=
……………………… 12分
有|AB|
+ |CD| =+=
因为sin2∈[0，1]，所以 当且仅当sin2=1时，|AB|+|CD|有
最小值是
………………………… 14分
9、（2009昌平区）直线
与抛物线
相交于A、B两点，Ｏ为抛物线的顶点，若
．证明：直线过定点．
证明：
（I）当直线有存在斜率时，设直线方程为
，显然
．………2分
联立方程得：
消去
由题意：
……………………5分
又由得
， …………… …………………………7分
即
，解得 
………………………………………9分
故直线的的方程为：
，故直线过定点
……………11分
（II）当直线
不存在斜率时，设它的方程为
，显然
联立方程得：
,即
又由得，即
，解得 
可知直线方程为：
，故直线过定点
综合（１）（２）可知，满足条件的直线过定点．………………………13分
10、（2009东城区）已知椭圆
的对称轴为坐标轴,且抛物线
的焦点是椭圆的一个焦点,又点
在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知直线的方向向量为,若直线与椭圆交于
、两点,求面积的最大值.
解: (Ⅰ)由已知抛物线的焦点为
,故设椭圆方程为
.
将点
代入方程得
,整理得
,
解得
或
(舍).
故所求椭圆方程为
. …………………………………………6分
(Ⅱ)设直线
的方程为
,设
代入椭圆方程并化简得
,
………………9分
由
,可得
. ( 
)
由
,
故
.
又点到的距离为
,
………………11分
故
,
当且仅当
,即
时取等号(满足式)
所以面积的最大值为
.
………………13分
11、（2009海淀区）已知点A（0，1）、B（0，-1），P为一个动点，且直线PA、PB的斜率之积为
（I）求动点P的轨迹C的方程；
（II）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线交于C于M、N两点，
的面积记为S，若对满足条件的任意直线，不等式
的最小值。
解：（I）设动点P的坐标为
由条件得
…………3分
即
所以动点P的轨迹C的方程为…………5分
注：无
扣1分
（II）设点M，N的坐标分别是
当直线
所以
所以
…………7分
当直线
由
所以
…………9分
所以
因为
所以
综上所述
…………11分
因为
恒成立
即
恒成立
由于
所以
所以
恒成立。…………13分
所以
…………14分
注：没有判断
为锐角，扣1分
12、（2009西城区）已知抛物线
，点M(m,0)在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点.
（Ⅰ）若m=1，l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（Ⅱ）若存在直线l使得
成等比数列，求实数m的取值范围.
（Ⅰ）解：由题意，得
，直线l的方程为
.
由
, 得
,
设A, B两点坐标为
, AB中点P的坐标为
,
则
,
故点
-----------------3分
所以
,
故圆心为
, 直径
,
所以以AB为直径的圆的方程为
； --------------6分
方法一：（Ⅱ）解：设A, B两点坐标为, 
.
则
,
所以 
1
因为点A, B在抛物线C上,
所以
,
2
由12，消去
得
.
------------------10分
若此直线l使得成等比数列，则
，
即
，所以
，
因为
，，所以
，
整理得
，
3
--------------------12分
因为存在直线l使得
成等比数列，
所以关于x1的方程3有正根，
因为方程3的两根之积为m2>0, 所以只可能有两个正根，
所以
，解得
.
故当时，存在直线l使得
成等比数列. ----------14分
方法二：（Ⅱ）解：设使得
成等比数列的直线AB方程为
或
,
当直线AB方程为
时, 
，
因为成等比数列,
所以，即
，解得m=4，或m=0(舍)------8分
当直线AB方程为
时，
由
，得
，
设A, B两点坐标为,
则
,
1
由m>0, 得
.
因为成等比数列, 所以,
所以
，
2
因为A, B两点在抛物线C上，
所以,
3---------------11分
由123，消去
,
得
,
因为存在直线l使得成等比数列，
所以
,
综上，当
时，存在直线l使得成等比数列. ----------------------14分