镇海中学2008学年第一学期期中考试高三年级
数学（理科）试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）
1．下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2. 在锐角△ABC中，若lg (1＋sinA) = m , 且lg
= n，则lgcosA等于（ ）
（A）
(m－n) （B）m－n
（C）( m＋
) （D）m＋
3.在等差数列
中，
，则
( )
（A）24 （B）22
（C）20
（D）
4.过点A（11，2）作圆
的弦，其中弦长为整数的共有（ ）
（A）16条 （B） 17条 （C） 32条 （D） 34条
5．已知向量
与
关于x轴对称，j =(0,1)，则满足不等式
的点Z(x,y)的集合用阴影表示为下图中的（ ）
（A） （B） （C） （ D）
6．设
，若对于任意的
，都有
满足方程
，这时
的取值集合为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7.若直线
通过点
，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8. 设
，
在
上的投影为
，在
轴上的投影为2，且
，则为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
9.将函数
的图象向右平移
个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的
倍,所得图象关于直线
对称,则的最小正值为 ( )
（A） 
（B） 
（C） 
（D） 
10．已知
为关于x的一次函数，b为不等于0的常数，且满足
, 设
则数列
为（ ）
（A）等差数列 （B）等比数列 （C）递增数列 （D）递减数列
二、填空题：（本大题共7小题；每小题4分，共28分．）
11．曲线在
在x=1处的切线的倾斜角为
.
12. 
是定义在R上的奇函数，若x≥0时，
，则
______．
13．设集合
，且
都是集合
的子集，如果把
叫做集合
的“长度”，那么集合
的长度的最小值是
。
14．函数
的图象中相邻两条对称轴的距离是
．
15．若直线
的圆心，则
的最小值是
。
16．椭圆
(a＞b＞0)的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率e =
．
17．已知函数
，数列满足
，且是递增数列，则实数
的取值范围是
.
镇海中学2008学年第一学期期中考试高三年级
数学（理科）答题纸
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题（每小题4分，共28分）
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17.
三、解答题：本大题共5小题；共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. （本小题14分）已知平面内三点A(3,0),B(0,3),C(
,O为坐标原点。
（1）
若
,求
的值。
（2）
若
的夹角。
19．（本小题14分）已知：二次函数
同时满足条件：①
②
③对任意实数
恒成立.
（1）求
的表达式；
（2）数列
，若对任意n均存在一个函数
，使得对任意的非零实数x都满足
，求：数列
的通项公式。
20. (本小题满分14分)已知正数数列
的前
项和为
,且
=1，数列
满足
，
（Ⅰ）求数列的通项
与的前项和
.
（Ⅱ）设数列
的前项和为
，求证：
.
21．（本小题满分15分）如图，椭圆
的左、右焦点分别为
，
，过的直线
与椭圆相交于A、B两点.
（1）若
，且
求椭圆的离心率；
（2）若
求
的最大值和最小值.
22．（本小题满分15分）已知函数
在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,
(1)求实数的值
(2)若关于x的方程
有三个不同实数解,求实数
的取值范围.
(3)若函数
的图象与坐标轴无交点,求实数
的取值范围.
镇海中学2008学年第一学期期中考试高三年级
数学（理科）答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
C
D
B
D
B
B
B
二、填空题（每小题4分，共28分）
11. 135° 12. -1
13. 
14. 
15. 16
16. 
17. 2<a<3
三、解答题：本大题共5小题；共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18. （本小题14分）已知平面内三点A(3,0),B(0,3),C(,O为坐标原点。
（1） 若,求的值。
（2） 若的夹角。
【解】：（1）
…………………3分
得
……………………5分
…………………………7分
（2）
。
……………………9分
…………………11分
， 则
即为所求。……………………14分
19．（本小题14分）已知：二次函数同时满足条件：①
②③对任意实数恒成立.
（1）求：的表达式；
（2）数列，若对任意n均存在一个函数，使得对任意的非零实数x都满足，求：数列的通项公式。
【解】：（1）由条件得
………………4分
由
恒成立
………………6分
………………8分
（2）
又因为
恒成立
令
……………10分
………………12分
………………14分
20. (本小题满分14分)已知正数数列的前项和为,且=1，数列满足
，
（Ⅰ）求数列的通项与的前项和.
（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：.
【解】：（Ⅰ）易得
. …………1分
当
时，
，…① 
…②
①-②,得
.
∴
（）. ∴数列是以为首项，2为公比的等比数列.
∴
. …………………………3分
从而
，…………………………………5分
其前项和
…………………………………7分
（Ⅱ）∵为等比数列、为等差数列，
，
∴
…③
…④
③-④，得
∴
…………………………11分
易知
，当
时，
.
∴当时，数列
是递减数列.…………………………13分
∴
.故. …………………………14分
21．如图，椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆相交于A、B两点.
（1）若，且
求椭圆的离心率；
（2）若求的最大值和最小值.
【解】：（1）
，
，
…………………………3分
，
…………………………………6分
（2）
，
.
①若
垂直于轴，则
，
……………………8分
②若AB与轴不垂直，设直线的斜率为
，
则直线的方程为 
由
得 
，
方程有两个不等的实数根.
设
，
.
,
………………………………9分
……………………………………11分
∴
…………………………………13分
综合①、②得
.所以当直线垂直于时，取得最大值
；当直线与轴重合时，取得最小值
…………………………14分
22．（本小题满分15分）已知函数在区间[-1,1] 上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,
(1)求实数的值
(2)若关于x的方程有三个不同实数解,求实数的取值范围.
(3)若函数的图象与坐标轴无交点,求实数的取值范围.
【解】: (1)由函数在区间[-1,1] 上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,
取得极小值∴
………………………………………………2分
∵
∴
…………………………………………………4分
(2)由(1)知
,
∴
=
,……………………………5分
令
得,
,
x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,2)
2
(2,+ ∞)
+
0
-
0
+
0
-
增
减
增
减
………………………………………………………………………………………………7分
所以函数有极大值
,
,极小值
作出的示意图如图
因关于x的方程有三个不同实数解,令
即关于t的方程
在
上有三个不同实数解,即
的图象与直线
在上有三个不同的交点.而的图象与的图象一致.又
由图可知
……………………………10分
(3) 函数的图象与坐标轴无交点,有两种:
1°当函数的图象与x轴无交点时,则必须有
而
函数
的值域为
∴
解得
……………………12分
2°当函数的图象与y轴无交点时,则必须有
,
即
,而,有意义,
所以,即
解得
……………………13分
3°由函数存在,从而
有解,解得
故实数的取值范围为
………………………`15分