2008-2009学年度扬州大学附属中学高三数学月考试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上．
1．若集合
，
满足
，则实数
= ▲ ．
2．已知虚数z满足等式： 
，则
▲ ．
3．函数
的最小正周期是 ▲ ．
4．某算法的伪代码如右：则输出的结果是 ▲ ．
5．已知条件p:x≤1，条件q：
，则
p是q的 ▲ 条件．
(填“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”或是“既不充分也不必要条件”)
6．已知米粒等可能地落入如图所示的四边形
内，如果通过大量的实验发现米粒落入△BCD内的频率稳定在
附近，那么点
和点
到直线
的距离之比约为 ▲ ．
7．在等差数列
中，若
，则
▲
．
8．．给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：
①若
；
②若m、l是异面直线，
；
③若
；
④若
．
其中为真命题的是 ▲ ．
9．若不等式
对一切实数
恒成立，则实数的取值范围是 ▲ ．
10．当
时,函数
的最小值是____ ▲ ___．
11．在直角坐标系
中，
分别是与轴，
轴平行的单位向量，若直角三角形
中，
，
，则实数m= ▲ ．
12．椭圆
，右焦点F（c,0），方程
的两个根分别为x1,x2，则点P（x1,x2）与圆
的位置关系是 ▲ ．
13． 三位同学合作学习，对问题“已知不等式
对于
恒成立,求的取值范围”提出了各自的解题思路．
甲说：“可视为变量，为常量来分析”．
乙说：“寻找与的关系，再作分析”．
丙说：“把字母单独放在一边，再作分析”．
参考上述思路，或自已的其它解法，可求出实数的取值范围是 ▲ ．
14． 给出定义：若
（其中m为整数），则m 叫做离实数x最近的整数，记作
= m． 在此基础上给出下列关于函数
的四个命题：
①函数y=
的定义域为R，值域为
；②函数y=的图像关于直线
（
）对称；③函数y=是周期函数，最小正周期为1；④函数y=在
上是增函数。
其中正确的命题的序号 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6小题,共90分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
15、（本小题满分14分）
某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段
，
…
后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求出物理成绩低于50分的学生人数；
(2)估计这次考试物理学科及格率（60分及
以上为及格）
(3) 从物理成绩不及格的学生中任选两人，
求他们成绩至少有一个不低于50分的概率．
16．（本小题满分14分）
在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且
．
（1）求角A；
（2）若m
，n
，试求|m
n|的最小值．
17．（本小题满分15分）
如图，
、
分别为直角三角形的直角边
和斜边
的中点，沿
将
折起到
的位置，连结
、
，
为的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求证：平面
平面
；
18．（本小题满分15分）
已知直线
：
（
为常数）过椭圆
（
）的上顶点
和左焦点，直线被圆
截得的弦长为
．
（1）若
，求的值；
（2）若
，求椭圆离心率
的取值范围．
19．（本小题满分16分）
已知函数
．
(1)当
时，判断函数
的单调性并求出其单调区间；
(2)若函数的图象与直线
至少有一个交点，求实数
的取值范围；
(3)证明：对任意
，都有
成立．
20．(本小题16分)
已知：集合
．
（1）证明：不存在
，使得1，
，
依次既是一个等差数列的前三项，又是一个等比数列的前三项。
（2）是否存在，使得1，，依次既是一个等差数列的第1、3、8项，又是一个等比数列的第1、3、8项？证明你的结论。
（3）是否存在，使得1，，依次既是一个等差数列的第r、s、t项，又是一个等比数列的第r、s、t项？证明你的结论．
附加题
1．选修4―2 矩阵与变换
二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．
（1）求矩阵M；
（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．
2．选修4―4 参数方程与极坐标
圆
和圆
的极坐标方程分别为
．
（1）把圆和圆的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）求经过圆，圆两个交点的直线的直角坐标方程．
3．动点P在x轴与直线l：y＝3之间的区域（含边界）上运动，且点P到点F（0，1）和直线l的距离之和为4．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）求曲线C与曲线
所围图形的面积．
4．一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)=x，f2(x)=x2，f3(x)=x3，f4(x)=sinx，f5(x)=cosx，f6(x)=2．
（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；
（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数
的分布列和数学期望．
1
2
3
4
5
6
7
8
2
9
充分不必要
4
①②④
9
10
11
12
13
14
或0
点P在圆内
①②③
15．解： （1）因为各组的频率和等于1,故低于50分的频率为：
所以低于50分的人数为
（人）………………………………………….5分
（2）依题意，成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），
频率和为 
所以，抽样学生成绩的合格率是
%.
于是，可以估计这次考试物理学科及格率约为%……………………………………9分.
（3）“成绩低于50分”及“[50,60)”的人数分别是6,9。所以从成绩不及格的学生中选两人，他们成绩至少有一个不低于50分的概率为：
……………14分
16．解：（1）
，
即
，
∴
，∴
．
∵
，∴
．………………………………………………………………7分
（2）m
n 
，
|mn|
．
∵，∴
，∴
．
从而
．
∴当
＝1，即
时，|mn|
取得最小值
．
所以，|mn|
．………………………………………………………………14分
17．(1)证明：
E、P分别为AC、A′C的中点，
EP∥A′A，又A′A
平面AA′B，EP
平面AA′B
∴即EP∥平面A′FB …………………………………………7分
(2) 证明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC
∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC
BC平面A′BC
∴平面A′BC⊥平面A′EC …………………………………………14分
注：直角三角形条件在证这两问时多余了，可直接用两侧面的直角三角形证明即可。
18．解：（1）取弦的中点为M，连结OM
由平面几何知识，OM=1
得：
，
∵直线过F、B ，∴
则
…………………………………………6分
（2）设弦的中点为M，连结OM
则
解得
∴
…………………………………………15分
（本题也可以利用特征三角形中的有关数据直接求得）
19．
 |
第(3)问的构造法可直接用第二种方法，作差后用
代换
即可。
20．解：（1）由方程组
的解为
不符合题设，可证。………3分
（2）假设存在。
由方程组
，得
，即
…5分
设
（
），可证：当
时，
单调递减且
；当
时，单调递减且
。
，设
，则
。………7分
①当时，
，
递增，故
，
于是
，在
上单调递减。
设
，则
，
在上递增，
，即
，所以
。………9分
②当时，
，递减，故，
于是，在
上单调递减。
，在上递减，，即，所以
由函数（）的性质可知满足题设的
不存在。………11分
（3）假设1，
，
是一个公差为
的等差数列的第r、s、t项，又是一个等比为
等比数列的第r、s、t项。于是有：
，
，
从而有
， 所以。
设
，同（2）可知满足题设的不存在………16分
注：证法太繁，在第二问中，可用
来表示，消去
可得
，则构造
易得到极值点为
。
附加题参考答案
附1．（1）设M=
，则有
=
，
=
，
所以
且
解得
，所以M=
．…………………………5分
（2）任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P’(x’，y’)．
因为
，所以又m：
，
所以直线l的方程(x+2y)－(3x+4y)=4，即x+y+2=0．………………………………10分
附2．解：以有点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
（1）
，
，由
得
．
所以
．
即
为圆
的直角坐标方程．
同理
为圆
的直角坐标方程．
……………………………………6分
（2）由
相减得过交点的直线的直角坐标方程为
．
…………………………10分
附3．（1）设P（x，y），根据题意，得
．
化简，得
．………………………………………………………………5分
（2）
．……………………………………10分
附4．（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知
………………………………4分
（2）ξ可取1，2，3，4． 
，
；………………8分
故ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
P
答：ξ的数学期望为
…………10分