2009届深圳市第二实验学校高三模拟考试一
数学(理科)
参考公式：锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。
1．设集合
，则满足
的集合
的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1．
2．在等比数列
中，已知
，那么
（ ）
2．
A．4
B．6
C．12
D．16
3． 3．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若其中一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的四分之一，样本容量为160，则该小长方形这一组的频数为（ ）
4．
A ．３２ B．
C．４０ D．
4．若
，则
大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）
A．27 B．30 C．33 D．36
6．在
中，分别为三个内角
所对应的边，设向量
，
，若
，则角
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．函数
的图象恒过定点，若点在直线
上，其中
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
D．
8．若直线
与圆
交于
两点,且关于直线
对称,动点P
在不等式组
表示的平面区域内部及边界上运动，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分．
9．在可行域内任取一点规范如框图所示，则能输出数对
的概率是 ．
10．如果复数
，则
的展开式（按
的升幂排列）的第5项是
。
11、已知
，则
=
。
12．已知直线
与圆
交于
两点，且
，其中
为坐标原点，则实数
的值为_________________。
13．（坐标系与参数方程选做题）极坐标内曲线
的中心与点
的距离为 ．
14．(不等式选讲选做题)函数
15．（几何证明选讲选做题）如图，DA，CB，DC与以AB为直径的半圆分别
相切于点A、B、E，且BC：AD=1：2，CD=
则四边形ABCD的面积等于
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16、(本题满分12分) 在△ABC中，
为三个内角
为三条边，
且
（1）判断△ABC的形状； （2）若
，求
的取值范围
17．（本小题满分12分）
如图, 在正方体
―
中, 
为
的中点．
（１）证明：平面
平面
；
（２）求
与平面
所成角的大小的正弦值．
18．（本小题满分14分）
一袋中装有分别标记着1、2、3、4数字的4个球, 从这只袋中每次取出1个球, 取出后放回, 连续取三次, 设三次取出的球中数字最大的数为
.
（１）求
时 的概率；（２）求的概率分布列及数学期望.
19．（本小题满分14分）
已知椭圆M的对称轴为坐标轴，且抛物线
的焦点是椭圆M的一个焦
点，又点
在椭圆M上。
（I）求椭圆M的方程；
（II）已知直线l的方向向量为
与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积的最大值。
20．（本小题满分14分）
已知函数
，过该函数图象上任意一点
（１）证明：
图象上的点总在
图象的上方；
（２）若
上恒成立，求实数的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知数列
满足：
，且
．求证：
（１）数列
为等比数列；（２）
．
（一）
一、选择题
1~8：CAAD BBBD
二、填空题
9、
10、35
11、
12、
13、
14、10
15、
三、解答题
16、解：（1）由
及正弦定理有：
∴
或
……….2分
若，且
，
∴
，
；
……….4分
∴
，则
，∴
三角形．
……….6分
（2）∵ 
，∴
，
∴
，而
，
……….8分
∴
，∴
，∴
．
……….12分
17解：（１）取
的中点
的中点
连结
平面
, 
.
又
, 
平面
．……………………………3分
,
四边形
是平行四边形, 
平面
又
平面
, 平面
平面 ………………………………6分
（２）过
作
于
，连结
．
由（１）中的平面
平面知
面，所以
在面
上的射影为
，所以
就是所求的角． …………………………………………9分
令正方体的棱长为
，所以
，所以
．
即与平面所成角的大小的正弦值为
． …………………………12分
18解：（１）
表示取出的三个球中数字最大者为3．
①三次取球均出现最大数字为3的概率
②三取取球中有2次出现最大数字3的概率
③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率
∴
． ……………………………………………………7分
（２）在
时, 利用（１）的原理可知：
,(
=1,2,3,4)
１
２
３
４
的概率分布为：
=1×＋2×＋3×＋4× = ．………………………………………………7分
19、解：（I）由已知抛物线的焦点为
故所求椭圆方程为
…………6分
（II）设直线BC的方程为
代入椭圆方程并化简得
…………9分
又点A到BC的距离为
， …………11分
所以△ABC面积的最大值为
…………14分
20解：（１）
，
设
为增，
当
，
所以
图象上的点总在
图象的上方． …………………………6分
（２）当
．
x
（－∞，0）
（0，1）
1
（1，+∞）
F‘（x）
－
－
0
+
F（x）
减
减
e
增
①当x＞0时，F（x）在x=1时有最小值e，
．
②当x＜0时，F（x）为减函数，
，
．
③当x=0时，
∈R．
由①②③，
恒成立的的范围是
． ……………………………………14分
21解：（１）由
得
．
而
，所以
，
所以数列
为等比数列． …………………………………………4分
（２）由（１）有
． ……………………………………6分
所以
，
，……，
，累和得
． …8分
因为
，………………………………………………9分
所以
．
记
，用错位相减法得
，所以
．
所以
．
即当
为奇数时命题成立．……………………………………………………………11分
又
，
所以
．即当为偶数时命题成立．
综合以上得
．………………………………………………13分