的分布列为

　　…………………………（12分）

15、(黑龙江哈尔滨三中2008年12月高三月考)袋中有3个白球，2个红球和若干个黑球（球的大小均相同），从中任取2个球，设每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，已知得0分的概率为．

（1）求袋中黑球的个数及得2分的概率；

（2）设所得分数为．

解：（1）设黑球x个，则，解得x=4……………………………………4分

………………………………………………………………6分

（2）可取0,1,2,3,4

                      ……………………12分

16、(湖北黄陂一中2009届高三数学综合检测试题)甲，乙两人进行乒兵球比赛，在每一局比赛中，甲获胜的概率为。

 (1)如果甲，乙两人共比赛局，甲恰好负局的概率不大于其恰好胜局的概率，试求的取值范围；

 (2)若，当采用局胜制的比赛规则时，求甲获胜的概率；

 (3)如果甲，乙两人比赛局，那么甲恰好胜局的概率可能是吗？

解：设每一局比赛甲获胜的概率为事件A，则

   (1)由题意知…………………………………………2分

    即解得P＝0或…………………………………4分

   (2)甲获胜，则有比赛2局，甲全胜，或比赛3局，前2局甲胜1局，第3局甲胜，故

    ……………………………………………………8分

   (3)设“比赛6局，甲恰好胜3局”为事件C  则P(C)＝………9分

    当P＝0或P＝1时，显然有…………………………………………………10分

    又当0＜P＜1时，

    …………………………11分

故甲恰好胜3局的概率不可能是.……………………………………………………12分

17、(甘肃省兰州一中2008―2009高三上学期第三次月考)一袋中装有6张同样的卡片，上面分别标出1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3张卡片，以ξ表示取出的卡片中的最大标号。

   （I）求ξ的分布列；

   （II）求Eξ。

解：（I）ξ的可能取值为3，4，5，6，                    …………1分

       …………9分

所以ξ的分布列为

ξ

3

4

5

6

P

0.05

0.15

0.3

0.5

                                                        …………10分

   （II）Eξ=0.05×3+0.15×4+0.3×5+0.5×6=5.25             …………12分

18、(广东省广州市2008-2009学年高三第一学期中段学业质量监测)某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.

(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率;

(Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买该商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是,请问:商场应将每次中奖奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?

解: (Ⅰ)从2种服装商品,2种家电商品,3种日用商品中,选出3种商品一共有种选法,.选出的3种商品中没有日用商品的选法有种, 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为.……4分

(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为X,其所有可能值为0, ,2,3.……6分

X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以……7分

同理可得……8分

……9分

……10分

于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是.……12分

要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有,所以, …… 13分

故商场应将中奖奖金数额最高定为100元,才能使促销方案对商场有利. …… 14分

19、(四川省成都市高2009届高中毕业班第一次诊断性检测)某果园要将一批水果用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由果园承担.

如果果园恰能在约定日期(×月×日)将水果送到，则销售商一次性支付给果园20万元，若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给果园1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天，销售商将少支付给果园1万元.

为保证水果新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中一条公路运送水果，已知下表内的信息

          统计信息

汽车行驶路线

不堵车的情况下到达

城市乙所需时间(天)

堵车的情况下到达

城市乙所需时间(天)

堵车的

概率

运费

(万元)

公路1

2

3

1.6

公路2

1

4

0.8

(1)记汽车走公路1是果园获得的毛利润为ξ(万元)，求ξ的分布列和数学期望Eξ；
(2)假设你是果园的决策者，你选择哪条公路运送水果有可能让果园获得的毛利润更多？
(注：毛利润＝销售商支付给果园的费用－运费).
解：(1)汽车走公路1时，不堵车时果园获得的毛利润ξ＝20－1.6＝18.4万元
堵车时果园获得的毛利润ξ＝20－1.6－1＝17.4万元
∴汽车走公路1是果园获得的毛利润ξ的分布列为

ξ

18.4

17.4

P

                                                                ……3'
∴Eξ＝18.4×＋17.4×＝18.3万元                             ……5'
(2)设汽车走公路2时果园获得的毛利润为η
不堵车时果园获得的毛利润η＝20－0.8＋1＝20.2万元
堵车时果园获得的毛利润η＝20－0.8－2＝17.2万元
∴汽车走公路1时果园获得的毛利润ξ的分布列为

η

20.2

17.2

P

                                                                ……8'
∴Eη＝20.2×＋17.2×＝18.7万元                              ……10'
∵Eξ＜Eη
∴应选择公路2运送水果有可能使得果园获得的毛利润更多.           ……12'

20、(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：

福娃名称

贝贝

晶晶

欢欢

迎迎

妮妮

数量

1

2

3

1

1

    从中随机地选取5只。

   （1）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；

   （2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推。设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列和期望值。

解：（1）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率

   （2）

       ξ的分布列为：

ξ

100

80

60

40

P

21、(广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：

（1）取到的2只都是次品；

（2）取到的2只中正品、次品各一只；

（3）取到的2只中至少有一只正品。

解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有6²=36种不同取法……………　2分

   （1）取到的2只都是次品情况为2²=4种，因而所求概率为…………4分

（2）由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品。因而所求概率为　…………8分

　（3）由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件，因而所求概率为　　　　…………12分

22、(2009年广东省广州市高三年级调研测试)一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收．

抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，

则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品.

（1）求这箱产品被用户接收的概率；

（2）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望．

解：（1）设“这箱产品被用户接收”为事件，.             ……3分

即这箱产品被用户接收的概率为．                                  ……4分

（2）的可能取值为1，2，3．                                            ……5分

=，                                                

=，                                            

=，                                            ……8分

∴的概率分布列为：

1

2

3

                 ……10分

∴=．                             ……12分

23、(广西桂林十八中06级高三第二次月考)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛: 第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：

（1）打满3局比赛还未停止的概率；

（2）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.

解：令分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜.

　　　　（Ⅰ）由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为

…………………………4分

　　　　（Ⅱ）的所有可能值为2，3，4，5，6，且……………………………5分

　　　　　　　……9分

          　　　故有分布列

2

3

4

5

6

P

..............10分

 从而（局）……..12分

24、(河南省实验中学2008-2009学年高三第一次月考)某汽车驾驶学校在学员结业前，对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核。若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过，且他直到参加第二次考核才合格的概率为。

（1）求小李第一次参加考核就合格的概率；

（2）求小李参加考核的次数的分布列和数学期望。

解：（1）根据题意，得 ，解得或．

∵，∴，即小李第一次参加考核就合格的概率为………（5分）

（2）由（1）的结论知，小李四次考核每次合格的概率依次为，

∴，，……（8分）

    ………………………………（10分）

∴小李参加测试的次数的数学期望为

………（12分）

25、(广东省湛江师范学院附中2009年高考模拟试题)某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A、B两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为，至少一项技术指标达标的概率为．按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.

（Ⅰ）求一个零件经过检测为合格品的概率是多少？

（Ⅱ）任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率是多少？

（Ⅲ）任意依次抽取该种零件4个，设表示其中合格品的个数，求.

解：（Ⅰ）设、两项技术指标达标的概率分别为、            …………2分

由题意得：                                     …………5分

解得：或，∴.  

即，一个零件经过检测为合格品的概率为.                            …………7分

（Ⅱ）任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为

                                     …………10分

（Ⅲ）依题意知～B(4,)，.                         …………13分

26、(广东省湛江市实验中学2009届高三第四次月考)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛。

   （Ⅰ）所选3人中至少有1名女生的概率；

   （Ⅱ）设随机变量表示所选3人中的女生人数。写出的分布列并求出的数学期望。

（Ⅰ）解：设所选三人中至少有1名女生的事件为A …………1分

P(A)= …………4分

（Ⅱ）ξ可能取的值为0，1，2，  …………5分

P（ξ=k）=   k=0，1，2  …………8分

ξ的分布列为

ξ   0    1    2

P              …………10分

∴Eξ=   ……………………12分

27、(福建省莆田第四中学2009届第二次月考)甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，

  （I）记甲击中目标的次数为ξ，求ξ的概率分布及数学期望Eξ；

  （II）求乙至多击中目标2次的概率；

  （III）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

解：（I）P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，

P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝，

ξ的概率分布如下表：

ξ

0

1

2

3

P

Eξ＝, （或Eξ=3?=1.5）；

  （II）乙至多击中目标2次的概率为1－=；

  （III）设甲恰比乙多击中目标2次为事件A，甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件B₁，甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件B₂，则A＝B₁＋B₂，B₁，B₂为互斥事件．

  所以，甲恰好比乙多击中目标2次的概率为.

28、(湖北省百所重点中学2009届高三联考)2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：

福娃名称

贝贝

晶晶

欢欢

迎迎

妮妮

数量

1

2

3

1

1

    从中随机地选取5只。

   （1）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；

   （2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推。设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列和期望值。

解：（1）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率

                                ………………4分

   （2）                           ………………5分

                             ………………9分

ξ的分布列为

ξ

100

80

60

40

P

                                                      ………………11分

                          ………………13分

29、(江苏省赣榆高级中学2009届高三上期段考)连续投掷一枚质量均匀的硬币，10次中出现正面的次数记为.

(1)求随机变量的数学期望；

(2)求10次投掷中出现正面次数多于出现背面次数的概率.

解：（1）由题意可知，故；

（2）,     答：略.

30、(四川省万源市第三中学高2009级测试)2008年5月12日四川省汶川发生8．0级地震，通往灾区的道路全部中断。5月12日晚，抗震救灾指挥部决定从水路（一支队伍）．陆路（东南西北四个方向各一支队伍）．空中（一支队伍）同时向灾区挺进。已知在5月13日，从水路抵达灾区的概率是，从空中抵达灾区的概率是，从陆路每个方向抵达灾区的概率都是．（Ⅰ）求在5月13日从水路或空中有队伍抵达灾区（即从水路和空中至少有一支队伍抵达灾区）的概率；（Ⅱ）求在5月13日至少有4支队伍抵达灾区的期望。

解（Ⅰ）设“队伍从水路抵达灾区”为事件A，“队伍从空中抵达灾区”为事件B，

∴5月13日从水路或空中抵达灾区的概率为

      ――――――――――5分

答：5月13日从水路或空中有队伍抵达灾区的概率为。    ――――――――――6分

（Ⅱ）设5月13日抵达灾区的队伍数为，则

,          ――――――――――7分

,                 ――――――――――8分

,                                  ――――――――――9分

∴．             ――――――――――11分

答：5月13日至少有4支队伍抵达灾区的期望为。 ――――――――――12分

31、(天津市汉沽一中2008~2008学年度第五次月考)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且．

(I) 求文娱队的人数；

(II) 写出的概率分布列并计算．

解：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是

（7-2 x）人．

 (I)∵，

∴．……………………………………3分

即．

∴．

∴x=2．           ……………………………………5分

故文娱队共有5人．……………………………………7分

(II) 的概率分布列为

0

1

2

P

，……………………………………9分

，……………………………………11分

∴ =1．   …………………………13分

32、(湖北省武汉市第四十九中学2009届高三年级十月月考)盒中有大小相同的10个球，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为 5的球3个，第一次从盒中任取一个球，放回后第二次再任取一球（假设取到每球的可能性都相等），记第一次与第二次取到球的标号之和为。

（1）求随机变量的分布列；

（2）求E

解：（1）

ξ

2

3

4

6

7

10

P

……9分

（2） ………12分

33、(山西省太原五中2008―2009学年度高三上学期10月月考)某项选拔共有两轮考核.第一轮笔试，设有五道选择题，每题答对得20分，答错或不答得0分，总分达到60分者进入第二轮考核，否则即被淘汰；第二轮面试，面试成绩服从正态分布，两轮总分达到150分及以上者即被录用.已知某选手能正确回答第一轮的每一道题的概率都是，且两轮中的各题能否正确回答互不影响，求该选手：

（I）笔试成绩ξ的分布列与数学期望；

（II）被录用的概率（参考数据：在标准正态分布中）

18．解（I）（k=0，1，2，3，4，5）

分布列：（算对一个概率给1分）

0

20

40

60

80

100

P

数学期望为………………………6分

（II）∵面试成绩η服从正态分布，两轮总分达到150分者即被录用.

∴被录用的概率为

P(ξ=60)?P(η≥90) + P(ξ=80)?P(η≥70)+P(ξ=100)?P(η≥50) …………………9分

=[1-φ(3)]+ [1-φ(1)]+ [1-φ(-1)] …………………11分

=

 被录用的概率为…………………12分

34、(四川省成都七中2009届高三零诊模拟考试)某人上楼梯,每步上一阶的概率为,每步上二阶的概率,设该人从台阶下的平台开始出发,到达第n阶的概率为P_n.

                       (I)         求P₂;

                   (II)         该人共走了5,求该人这5步共上的阶数x的数学期望.

解:(Ⅰ)P₂=´+=                                         6分

(Ⅱ)该人共走五步,共上的阶数x取值为5,6,7,8,9,10,的分布列为:

x

5

6

7

8

9

10

p

()⁵

()()⁴

()²()³

()³()²

()⁴()

()⁵

Ex=                                      6分

35、(四川省成都市新都一中高2009级数学理科12月考试题)高三（1）班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验，

（Ⅰ）第一小组做了5次这种植物种子的发芽实验（每次均种下一粒种子），求他们的实验至少有3次成功的概率；

（Ⅱ）第二小组做了若干次发芽实验（每次均种下一粒种子），如果在一次实验中种子发芽成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，直到种子发芽成功为止，但发芽实验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽实验的次数的概率分布列和期望

解：（I）该事件为5次独立重复试验发生3次或4次或5次

    ∴P=P₅(3)+P₅(4)+P₅(5)  =  …6分          

（II）的可能取值分别为1，2，3，4，5   ………7分

分布列如下：

1

2

3

4

5

P

……10分

E=      …………12分

36、(四川省绵阳市高中2009级第二次诊断性考试)在2008年北京奥运会羽毛球女单决赛中，中国运动员张宁以2∶1力克队友谢杏芳，蝉联奥运会女单冠军.羽毛球比赛按“三局两胜制”的规则进行(即先胜两局的选手获胜，比三结束)，且各局之间互不影响.根据两人以往的交战成绩分析，谢杏芳在前两局的比赛中每局获胜的概率是0.6，但张宁在前两局战成1∶1的情况下，在第三局中凭借过硬的心理素质，获胜的概率为0.6，若张宁与谢杏芳在下次比赛中相遇.
(1)求张宁以2∶1获胜的概率；
(2)设张宁的净胜局数为ξ，求ξ的分布列及Eξ.
解：(1)张宁以2∶1获胜，意味着前两局战成1∶1，第三局张宁胜.
P(1)＝C₂¹×0.6×(1－0.6)×0.6＝0.288
(2)ξ的所有可能值为－2，－1，1，2，
P(ξ＝－2)＝0.6×0.6＝0.36，
P(ξ＝－1)＝C₂¹×0.6×(1－0.6)×(1－0.6)＝0.192，
P(ξ＝1)＝C₂¹×0.6×(1－0.6)×0.6＝0.288，
P(ξ＝2)＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16，
∴ξ的分布列为

ξ

－2

－1

1

2

P

0.36

0.192

0.288

0.16

    ∴Eξ＝－2×0.36＋(－1)×0.192＋1×0.288＋2×0.16＝－0.304           12'

37、(苍山诚信中学?理科)已知10件产品中有3件是次品.

    （I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；

    （II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？

(解)（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为…………3分

至少有一件是次品的概率为……………………6分

（2）设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为………8分

由

整理得：，……………………10分

   ∴当n=9或n=10时上式成立.…………11分

答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.………………12分

38、(临沂一中?理科)在2006年多哈亚运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为.已知比赛中，第一局日本女排先胜一局，在这个条件下，

   （Ⅰ）求中国女排取胜的概率；

（Ⅱ）设决赛中比赛总的局数为，求的分布列及.（两问均用分数作答）

(解)（Ⅰ）解：中国女排取胜的情况有两种：

     ①中国女排连胜三局;

②中国女排在第2局到第4局中赢两局，且第5局赢.……………………2分

         故中国女排取胜的概率为

          …………………………………………………4分                                                                                                  

故所求概率为………………………………………………………………5分                                                     

（Ⅱ）比赛局数

      则

       ………………8分

       的分布列为:

3

4

5

P

……………………10分

    .……………………………………………12分 

39、(临沂高新区?理科)甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．

    （1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船 不需要等等码头空出的概率；

    （2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船 不需要等待码头空出的概率．

(解)（1）设甲、乙两船到达时间分别为x、y，则O≤x<24，0≤y<24且y－x>4或y－x<－4

作出区域      4分

设“两船无需等待码头空出”为事件A，则

P（A）＝        6分

（2）当甲船的停泊时间为4小时，两船不需等待码头空出，则满足x－y>2．                 8分

设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域．

          10分

P（B）＝12分

40、(重庆市万州区2009级高三第一次诊断性试题)2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：

福娃名称

贝贝

晶晶

欢欢

迎迎

妮妮

数量

1

1

1

2

3

 从中随机地选取5只.

（I）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；

（II）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推. 设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望.

解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率

                         ………………5分

（Ⅱ）                      …………………6分           

                                   …………10分

ξ的分布列为：

ξ

10

8

6

4

P

                       …………13分

41、(广东省汕头市潮南区08－09学年度第一学期期末高三级质检)把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b，给定方程组

（1）       试求方程组只有一解的概率；

（2）       求方程组只有正数解（x>0,y>0）的概率。

解：（1）当且仅当时，方程组有唯一解.因的可能情况为三种情况………………………………3分

        而先后两次投掷骰子的总事件数是36种，所以方程组有唯一解的概率

          ……………………………………………………………………6分

（2）因为方程组只有正数解，所以两直线的交点在第一象限，由它们的图像可知

          ………………………………………………………………9分

解得（a,b）可以是（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），所以方程组只有正数解的概率………………………………………………………………………13分

42、(重庆奉节长龙中学2009年高考数学预测卷二)两个人射击，甲射击一次中靶概率是p₁，乙射击一次中靶概率是p₂，已知 , 是方程x²－5x + 6 = 0

的根，若两人各射击5次，甲的方差是 ．

(1) 求 p₁、p₂的值；

(2) 两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？

(3) 两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？

解析：(1) 由题意可知 x_甲 ~ B(5, p₁)，

∴    Dx_甲 = 5p₁ (1－p₁) = Þ p₁²－p₁ + = 0 Þ p₁ = ．2分；又 ?= 6，∴ p₂ = ．  3分

(2) 两类情况：共击中3次概率

C ( ) ² ( ) ⁰×C ( ) ¹ ( ) ¹ + C ( ) ¹ ( ) ¹×C ( ) ² ( ) ⁰ = ；

共击中4次概率C ( ) ² ( ) ⁰×C ( ) ² ( ) ⁰ = ． 6分

所求概率为 + = ．  8分

(3) 设事件A, B分别表示甲、乙能击中．∵ A, B互相独立（9分），∴ P(`A?`B ) = P(`A ) P(`B ) = (1－P(A) )(1－P(B) ) = (1－p₁)(1－p₂) = ×= （11分），∴ 1－P(`A?`B ) = 为所求概率． 12分

评析：这一类型的试题在连续几年的新课程卷都出现了，重点考查了分类讨论的数学思想，体现了《考试说明》所要求的创新意识和实践能力以及运用数学知识解决实际问题的能力．该题仍然是常规题，要求考生耐心细致，审题能力较强，并善于利用材料进行分析说明．

43、（浙江省杭州市2009）19．（本题14分）设集合，，．用随机变量表示方程实根的个数（重根按一个计），若．

（1）求方程有实根的概率；

（2）求的分布列和数学期望．

解：（1）∵

当时，；                      　　      --- 2分

当时，．基本事件总数为14．  　    --- 3分

记“方程有实根”为事件A，

若使方程有实根，则，即，共6种．　  --- 2分

∴．                           　　     --- 2分

（2）的分布列

0

1

2

P

--- 3分

.                      　　　　          　 --- 2分

44、（温州市部分省重点中学2009理）

     在汶川大地震后对唐家山堰塞湖的抢险过程中,武警官兵准备用射击的方法引爆从湖坝上游漂流而下的一个巨大的汽油罐.已知只有5发子弹,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射击是相互独立的,且命中的概率都是.

（Ⅰ）求油罐被引爆的概率;

（Ⅱ）如果引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为.

求的分布列及.( 结果用分数表示)

解:

ξ

2

3

4

5

P

45、（温州市部分省重点中学2009）

现有8名数理化成绩优秀者，其中数学成绩优秀，物理成绩优秀，化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛．

（Ⅰ）求被选中的概率；

（Ⅱ）求和不全被选中的概率．

解：（Ⅰ）从8人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，

其一切可能的结果组成的基本事件空间

{，，

，，，

，，，

}

由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，

因此这些基本事件的发生是等可能的．

用表示“恰被选中”这一事件，则

{，，， ，，，，，}

事件由9个基本事件组成，因而．………………7分

（Ⅱ）用表示“不全被选中”这一事件，

则其对立事件表示“全被选中”这一事件，

由于{}，事件有2个基本事件组成，

所以，

由对立事件的概率公式得．………………14分

46、（浙江省嘉兴市理）

    一袋中有m(m∈N^*)个红球，3个黑球和2个自球，现从中任取2个球．

   （Ⅰ）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；

   （Ⅱ）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；

   （Ⅲ）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．

解：(1)设“取出的2个球颜色相同”为事件A

       P(A)=                            4(分)

(2)

ξ

0

1

2

P

    7(分)

Eξ=0×+1×+2×=                           9分

(3)设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B，则

P(B)=                     11分

     ∴x²-6x+2>0

    ∴x>3+或x<3-，x的最小值为6．                14分

47、（宁波市理）（本题14分）在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．

（1）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；

（2）求随机变量的分布列和数学期望．

（Ⅰ）、可能的取值为、、，

，，

，且当或时，．   …………4分

因此，随机变量的最大值为．

有放回抽两张卡片的所有情况有种，

．        …………………………………………7分

（Ⅱ）的所有取值为．…………………………………8分

时，只有这一种情况，

 时，有或或或四种情况，

时，有或两种情况．

，，．      …………11分

则随机变量的分布列为：

………………………………………………………………12分

因此，数学期望．…………14分

48、（台州市2008学年第一学期理）（本题满分14分）某商场在七月初七举行抽奖促销活动，要求一男一女参加抽奖，抽奖规则是:从装有3个白球和2个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回. 若1人摸出一个红球得奖金10元，1人摸出2个红球得奖金50元. 规定:一对男女中男的摸一次，女的摸二次.令表示两人所得奖金总额.

（1）求=20时的概率;

（2）求的数学期望.

对应的事件为：男的摸到红球且女的一次摸到红球，

               ………………5分

0

10

20

50

60

P

=16.8

49、（浙江省09年高考省教研室第一次抽样测试数学试题（理））甲从装有编号为1，2，3，4，5的卡片的箱子中任意取一张，乙从装有编号为2，4的卡片的箱子中任意取一张，用，分别表示甲、乙取得的卡片上的数字.（1）求概率）；（2）记，求的分布列与数学期望.

解析：（1）记“”为事件A， （）的取值共有10种情况，满足的（）的取值有以下4种情况：（3，2），（4，2），（5，2），（5，4），所以；

（2）随机变量的取值为2，3，4，5，的分布列是

2

3

4

5

P

所以的期望为

   （Ⅰ）求选出的4 人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；

   （Ⅱ）设为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求的分布列和

    数学期望．

解：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人均考《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件  

    A，“从第二小组选出的2人均考《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件B.由于事

     件A、B相互独立， 且,    .……4分

 所以选出的4人均考《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率为

 …………………………… 7分

 （Ⅱ）设可能的取值为0,1,2,3.得

   ,,

  …………… 11分

    的分布列为

0

1

2

3

P