2009年深圳市高三年级第一次调研考试
数学 (理科) 2009．3
本试卷共6页，包括六个部分21小题，满分1 5 0分。考试用时l 5 0分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码
是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的
学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的
贴条形码区。请保持条形码整洁、不污损。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂
的答案无效。
3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上。请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉
原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答
的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、
错涂、多涂的答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：
如果事件A、 B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；
如果事件A、B相：互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)；
椭圆
的准线方程为
，其中
；
若球的半径为R，则球的表面积为S=4πR 2，体积为V
．
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1．如果复数(2+ai)i(a∈R)的实部与虚部是互为相反数，则a的值等于
A．-l B．
2009年深圳市高三年级第一次调研考试
数学(理科)答案及评分标准
说明：
1
2
3
4
5
6
7
8
C
C
D
C
A
B
B
A
二、填空题：本大题每小题5分(第12题前空2分，后空3分)，满分30分．
9．
．
10．
．
11． 
．
12． 
； ．
13．
．
14．
．
15．
．
三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数
．
学科网
（Ⅰ）求
的最小正周期；
（Ⅱ）设
，求的值域和单调递增区间．学科
网【解】（Ⅰ）∵学科网
.
…………………… 3分
的最小正周期为
．
………………… 5分
（Ⅱ）∵， 
， 
．
的值域为
．
……………… 10分
当
递减时，递增．
，即
．
故的递增区间为
．
……………………12分
17．（本小题满分12分）
如图，
为圆
的直径，点
、
在圆上，
，矩形
和圆所在的平面互相垂直．已知
,
．
（Ⅰ）求证：平面
平面
；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；
(Ⅲ)当
的长为何值时，二面角
的大小为
？
【解】（Ⅰ）证明：平面
平面
,
,
平面
平面=，
平面．
平面，
，
又
为圆的直径，
，
平面．
平面
，
平面平面．
………………………4分
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的证明，有
平面，
为在
平面上的射影，
因此，
为直线与平面所成的角．
………………………5分
，四边形为等腰梯形，
过点作
，交于
．
,，则
．
在
中，根据射影定理
，得
． ………………………7分
，
．
直线与平面所成角的大小为
．
………………………8分
(Ⅲ)（解法一）过点
作
，交
的延长线于点
，连
．
根据（Ⅰ）的证明，
平面，则
，
为二面角的平面角，
．
…………………9分
在
中，
，,
．
………………… 10分
又四边形
为矩形， 
．
．
因此，当的长为
时，二面角的大小为．
…………………12分
（解法二）设中点为
，以为坐标原点，
、
、方向
分别为
轴、
轴、
轴方向建立空间直角坐标系（如图）
设
，则点
的坐标为
在中，，,．
点的坐标为
，点的坐标为
,
，
设平面
的法向量为
，则
,
．
即
令
，解得
…………………10分
取平面
的一个法向量为
，依题意
与
的夹角为
，即
， 解得
（负值舍去）
因此，当的长为时，二面角的大小为．
…………………12分
18．（本小题满分14分）
甲乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得1分，
负者得
分，比赛进行到有一人比对方多
分或打满
局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
，
且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛
停止的概率为
．
若右图为统计这次比赛的局数
和甲、乙的总得
分数
、
的程序框图．其中如果甲获胜，输入
，
；如果乙获胜，则输入
．
写什么条件？
（Ⅰ）在右图中，第一、第二两个判断框应分别填
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）设
表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量
的分布列和数学期望
．
注：“
”，即为“
”或为“
”．
【解】（Ⅰ）程序框图中的第一个条件框应填
，第二个应填
． ………………… 4分
注意：答案不唯一．
如：第一个条件框填
，第二个条件框填
，或者第一、第二条件互换．都可以．
（Ⅱ）依题意，当甲连胜局或乙连胜局时，第二局比赛结束时比赛结束．
有
．
解得
或
．
…………………………………6分
， 
．
………………………… 7分
（Ⅲ）（解法一）依题意知，的所有可能值为2，4，6．
………………………… 8分
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有
，
，
．
随机变量的分布列为：
…………………………… 12分
故
．
…………………………… 14分
（解法二）依题意知，的所有可能值为2，4，6．
………………… 8分
令
表示甲在第
局比赛中获胜，则
表示乙在第局比赛中获胜．
由独立性与互不相容性得
，
，
．
………………… 12分
随机变量的分布列为：
故．
………………… 14分
19．（本题满分14分）
已知函数
（
，
）．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若不等式
对一切正整数恒成立，求实数
的取值范围．
【解】（Ⅰ）
………………… 2分
，
由
，得
．
，
，
．
又
．
函数的单调递增区间为
,递减区间为
． ………… 6分
（Ⅱ）【法一】不等式，即为
．……………（※）
令
，当
时，．
则不等式（※）即为
．
…………………9分
令
，
，
在的表达式中，当
时，
，
又时，
，
在
单调递增，在
单调递减．
在
时，取得最大，最大值为
．
…………………12分
因此，对一切正整数，当
时，
取得最大值
．
实数的取值范围是
．
………………………… 14分
【法二】不等式，即为．………………（※）
设
，
，
令
，得
或
．
………………………… 10分
当
时，
，当
时，
．
当时，取得最大值．
因此，实数的取值范围是．
………………………… 14分
20．（本题满分14分）
在四边形
中，已知
，点
在轴上， 
，且对角线
．
（Ⅰ) 求点
的轨迹的方程；
(Ⅱ)若点是直线
上任意一点，过点作点的轨迹的两切线
、
，、
为切点，为的中点．求证：
轴或与轴重合；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，直线是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
【解】（Ⅰ)如图，设点的坐标为
，
则
，
，
，即
．
∴所求的轨迹是除去顶点的抛物线
……………… 3分
（解法一）(Ⅱ)对函数
求导得，
．
设切点坐标为
，则过该切点的切线的斜率是
，该切线方程是
．
又设点的坐标为
，
切线过点，有
，
化简，得
．
…………………………6分
设、两点的坐标分别为
、
，则
、
为方程
的两根，
．
因此，当
时，直线与轴重合，当
时，直线与轴平行 …………9分
(Ⅲ) 
．
点的坐标为
．
又
．
直线的方程为：
，即
．………（
）
当
时，方程（）恒成立，
对任意实数
，直线恒过定点，定点坐标为
． …………………………14分
（解法二）(Ⅱ)设点的坐标为，利用切点弦直线方程的结论可得出直线的方程为
，即
…………………………7分
由
得.
．
.
因此，当时，直线与轴重合，当时，直线与轴平行. ……………9分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直线的方程为，即．
后面解法同解法一.
21．（本题满分14分）
已知函数
，
为函数的导函数．
（Ⅰ）若数列
满足：
，
（
），求数列的通项
；
（Ⅱ）若数列
满足：
，
（）．
（?）当
时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项
；若不是，请说明理由；
（?）当
时， 求证：
．
【解】（Ⅰ）
， …………………………1分
，
即
．
…………………………3分
， 数列
是首项为，公比为的等比数列．
，即
．
…………………………5分
（Ⅱ）（?）
，
．
当
时，
．
假设
，则
．
由数学归纳法，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为
． …………8分
（?）
， ．
当
时，
．
假设
，则 
．
由数学归纳法，得出数列
．
…………………………10分
又
，
，
即
．
…………………………12分
．
，
．
…………………………14分
审题：石永生 命题：喻秋生 姚亮 黄元华