试卷类型：A
唐山市2008―2009学年度高三年级第一次模拟考试
理科数学试卷
说明：
四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．
如果事件
、
互斥，那么
球的表面积公式
其中
表示球的半径
如果事件、相互独立，那么
球的体积公式
其中表示球的半径
如果事件在一次试验中发生的概率是
，
那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率：
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．
(1)复数
（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)已知
，
，
，则
（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(3)球的一个截面是半径为3的圆，球心到这个截面的距离是4，则该球的表面积是（ ）
(A)
(B)
(C) 
(D) 
(4)圆
与圆
的公切线共有（ ）
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
(5)已知实数
，
满足不等式组
，则
的取值范围是（ ）
(A)
(B)
(C) 
(D) 
(6)函数
的反函数为（ ）
(A)
(B) 
(C) 
(D)
(7)已知椭圆的中心在原点，离心率
，且它的一个焦点与抛物线
的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
(8)若函数
的部分图象如图所示，则该函数可能是（ ）
(A)
(B) 
(C) 
(D) 
 |
(9)设
、
、
为三个不同的平面，
、为两条不同的直线，在
①
，
，
； ②
，，
；
③，
，
； ④
，
，
中，是
的充分条件的为（ ）
(A) ①② (B)②④ (C)②③ (D) ③④
(10)已知函数
，则使得
的的取值范围是（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(11)已知
是第一象限的角，且
，那么
（ ）
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(10)从5种不同的水果和4种不同的糖果中各选出3种，放入如图所示的6个不同区域（用数字表示）中拼盘，每个区域只放一种，且水果不能放在有公共边的相邻区域内，则不同的放法有（ ）
(A) 
种 (B) 
种 (C) 
种 (D) 
种
 |
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．
(13)随机变
量服从正态分布
，若
，则
。
(14)
的展开式中
的系数是
．(用数字作答)
(15)
、
(
为原点)是圆
的两条互相垂直的半径，
是该圆上任一点，且
，则
．
(16)如图，直四棱柱
的底面是直角梯形，
，
，
，
，
是
的中点，则
与面
所成角的大小为
．
(17)(本小题满分10分)
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
在
中，
，
，
是
的中点，将
表示为角的函数，并求这个函数的值域．
 |
(18)(本小题满分12分)
商家对某种商品进行促销活动，顾客每购买一件该商品就即刻抽奖，奖励额度如下：
奖励等级
一等奖
二等奖
所占比例
10%
30%
奖金数（元）
100
20
一顾客购买该商品2件，求：
(Ⅰ)该顾客中奖的概率；
(Ⅱ)该顾客获得奖金数 (元)的概率分布和期望
．
(19)(本小题满分12分)
如图，四棱锥
的底面
是正方形，侧面
是等腰三角形且垂直于底面，
，
，
、
分别是
、
的中点。
（Ⅰ）求证：
；
（Ⅱ）求二面角
的大小。
(20)(本小题满分12分)
已知函数
，其中
．
(Ⅰ)若对于任意的
，
恒成立，求实数
的值；
(Ⅱ)求证：
，
，
为自然对数的底。
(21)(本小题满分12分)
已知
是双曲线
的上支，曲线在任一点处的切线为，其中、 分别在直线
和
上，动点的轨迹为曲线
，其中
．
(Ⅰ)求曲线的方程；
(Ⅱ)过原点作直线分别交曲线和于点、，设
，求证
为定值．
(22)(本小题满分12分)
设数列
的前项和为
，已知
，且
．
(Ⅰ)求
、
的值及的表达式；
(Ⅱ)求数列
的前项和
．
唐山市2008~2009学年度高三年级第一次模拟考试
一、选择题:
A卷：CCABD BDCBB AA
二、填空题：
(13)
(14)
(15)
(16) 
三、解答题：
(17)解：
由
，知
，又
，由正弦定理，有
，∴
，
，……3分
∴
……………5分
…………8分
∵
，
， ∴
，
故所求函数为
，函数的值域为
……………10分
（18）解：
记顾客购买一件产品，获一等奖为事件
，获二等奖为事件
，不获奖为事件
，则
，
，
（Ⅰ）该顾客购买2件产品，中奖的概率
……………4分
（Ⅱ）
的可能值为0，20，40，100，120，200，其中
，
，
，
，
，
……………8分
的分布列为
……………10分
的期望
（元）…………………………………………………………………12分
（19）解法一：
（Ⅰ）取
中点
，连结
、
，则
，
又
，
∴
，四边形
是平行四边形，
∴
，又
，
，
∴
……………………………………………………4分
（Ⅱ）连结
∵
， ∴
，
又平面
平面
，∴
而
， ∴
作
于
，则
，且
，为
的中点。
作
于
，连结
，则
，
于是
为二面角
的平面角。…………………………8分
∵
，
，∴
，
在正方形中，作
于
，则
，
∴
，∴
。
故二面角的大小为
…………………………12分
 |
解法二：如图，以
为原点，建立空间直角坐标系，使
轴，
、
分别在
轴、
轴上。
（Ⅰ）由已知，
，
，
，
，
，
，
∴
，
，
，
∵
，
∴
，
又
，∴ ………………………………………4分
（Ⅱ）设
为面
的法向量，则
，且
。
∵
，，
∴
，取
，
，
，则
……………8分
又
为面
的法向量，所以
，
因为二面角为锐角，所以其大小为
…………………………12分
（20）解：
（Ⅰ）
……………………………………………………1分
（1）当
时，由
，知
，
在
单调递增
而
，则
不恒成立…………………………3分
（2）当
时，令
，得
当
时，
，单调递增；
时，
，单调递减，在处取得极大值。
由于
，所以
，解得，即当且仅当时恒成立。
综上，所求
的值为 …………………………7分
（Ⅱ）
等价于
，
下证这个不等式成立。
由（Ⅰ）知
，即
，
……………9分
∴
…………………………12分
（21）解：
（Ⅰ）曲线
方程可写为
，
设
，则
，又设
、
、
曲线在点处的切线斜率
，则切线
方程为
，
即
，亦即
…………………………3分
分别将、
坐标代入切线方程得
，
∴
，
由
，得
， ①
， ②
∴
……………7分
∵
，∴
，
则由②式得
。
从而曲线
的方程为
…………………………8分
（Ⅱ）轴与曲线、交点分别为
、
，此时
……9分
当
、
不在轴上时，设直线
方程为
。
若
，则、在第一象限，
由
，得
，由
得
，
∴………………………………………11分
因为曲线和都关于轴对称，所以当
时，仍有
综上，题设的
为定值
…………………………12分
（22）解：
（Ⅰ）由
，且
，得
当
时，
，解得
；
当
时，
，解得
猜想：
……………………………………………………2分
用数学归纳法证明如下
（1） 当时，命题显然成立。………………………………………3分
（2） 假设当
时命题成立，即
，那么
由
，得
于是，当
时命题仍然成立………………………………………6分
根据（1）和（2），对任何
，都有…………………………7分
（Ⅱ）当
时，
，且对于也成立。
因此，
对于，由
，得
，……………10分
，
综上，
………………………………………12分