北京市东城区2008――2009学年度
高二年级数学选修课程模块2-2测试题（理科卷）
一、选择题：本大题共12小题．每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．计算
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．抛物线
在点
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在复平面内，复数
对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．设函数
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 计算
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
，若
,则
的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
6B.函数
的极大值为
，那么的值是（ ）
A．
B． C． D．
7． 一质点做直线运动，由始点经过
后的距离为
，则速度为的时刻是（ ）
A．
B．
C．与
D．
与
8. 有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则此直线平行于平面内的所有直线；已知直线
平面
，直线
平面，直线
平面，则直线直线” ．结论显然是错误的，这是因为（ ）
A．大前提错误 B．推理形式错误 C．小前提错误 D．非以上错误
9. 右图是函数
的导函数
的图象，
给出下列命题：
①
是函数的极值点；
②
是函数的最小值点；
③在
处切线的斜率小于零；
④在区间
上单调递增.
则正确命题的序号是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
10. 由直线
，
，曲线
及
轴所围成的图形的面积是（ ）
A． 
B． 
C． 
D． 
11.设
是定义在正整数集上的函数，且满足：“当
成立时，总可以推出
成立”．那么，下列命题总成立的是（ ）
A．若
成立，则当
时，均有成立
B．若
成立，则当
时，均有成立
C．若
成立，则当
时，均有
成立
D．若
成立，则当
时，均有成立
12．已知数列
满足
，
，则
（ ）
A． B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.将答案填在题中横线上.
13. 若复数
为纯虚数，则实数
____________．
14. 用演绎法证明
在区间
为增函数时的大前提是____________．
15. 在平面，到一条直线的距离等于定长（为正数）的点的集合是与该直线平行的两条直线．这一结论推广到空间则为：在空间，到一个平面的距离等于定长的点的集合是 ．
16．曲线
在点
处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为__________．
三、解答题：本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)
已知二次函数
在
处取得极值，且在
点处的切线与直线
平行．
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）求函数
的单调递增区间．
设
，
，
．
（Ⅰ）求
，
，
的值；
（Ⅱ）归纳
的通项公式，并用数学归纳法证明.
18B. (本小题满分12分)
在数列
中，
，且
，
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）归纳的通项公式，并用数学归纳法证明.
已知函数
.
（Ⅰ）求
的最小值；
（Ⅱ）若对所有
都有
，求实数的取值范围.
19 B. (本小题满分12分)
已知函数
（Ⅰ）求函数的单调减区间；
（Ⅱ）若不等式
对一切
恒成立，求
的取值范围.
北京市东城区2008――2009学年度
高二年级数学选修课程模块2-2测试题（理科卷）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．B 2．A 3．B 4．A 5．D 6．C
7．C 8．A 9．B 10．D 11．D 12．B
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．
14．增函数的定义 15．与该平面平行的两个平面 16．
三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由
，可得
．
由题设可得
即
解得
，
．
所以
．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（Ⅱ）由题意得
，
所以
．
令
，得
，
．
所以函数的单调递增区间为，.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
解：（Ⅰ）
，
，
.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（Ⅱ）根据计算结果，可以归纳出 
.
当
时，
，与已知相符，归纳出的公式成立．
假设当
（
）时，公式成立，即
，
那么，
．
所以，当
时公式也成立．
综上，对于任何
都成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
18B. (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）
，因为
，
所以
，
，解得
，
同理
.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
（Ⅱ）根据计算结果，可以归纳出
.
当时，
，与已知相符，归纳出的公式成立.
假设当（）时，公式成立，即
.
由
可得，
.
即 
.
所以
.
即当时公式也成立.
综上，对于任何都成立. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
（Ⅰ）解：
的定义域为
，
的导数
.
令
，解得
；令
，解得
.
从而在
单调递减，在
单调递增.
所以，当
时，
取得最小值
. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 6分
（Ⅱ）依题意，得
在
上恒成立，
即不等式
对于
恒成立.
令
，
则
.
当
时，因为
，
故是
上的增函数， 所以 
的最小值是
，
从而
的取值范围是
. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
19B. (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）由于
当
时，
，
令
，可得
.
当
时，
，
可知
．
所以函数的单调减区间为
. ………………………………………………6分
（Ⅱ）设
当时，
，
令
，可得
，即
；
令
，可得
.
可得
为函数的单调增区间，
为函数的单调减区间．
当时，
，
所以当时，
．
可得
为函数的单调减区间．
所以函数的单调增区间为，单调减区间为
.
函数的最大值为
，
要使不等式
对一切
恒成立，
即
对一切恒成立，
又
，
可得
的取值范围为
. ………………………………………………12分