福建福州八中2009年元月高三调研考试试卷
数学理科
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合,则集合 的元素个数是
A.0
B.
2.已知向量和向量对应的复数分别为和,则向量对应的复数为
A. B. C. D.
3.函数的最小正周期是
A. B. C. D.
4.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为
A. B. C. D.
5.如图1所示的算法流程图中,第3个输出的数是
A.1 B. C.2 D.
6.如果一个几何体的三视图如图2所示(单位长度:cm),则此几何体的表面积是 4
A. 2
B. 4
7.函数的图像大致是
8.某班委会由4名男生与3名女生组成,现从中选出2人担任正.副班长,其中至少有1名女生当选的概率是
A. B. C. D.
9.若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
此三棱锥内任一点Q到第个面的距离记为,
若
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二.填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
11.命题“若”的逆命题是
12.已知数列则 ,
13.已知且与垂直,则实数的值为 .
14.不等式组所确定的平面区域记为,若圆上的所有点都在区域内上,则圆的面积的最大值是
15.设奇函数上是单调函数,且若函数对所有的都成立,当时,则的取值范围是
三.解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明.演算步骤或推证过程.)
16.(本小题满分12分)
已知a.b.c分别是△ABC中角A.B.C的对边,且.
(Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)若,求的值.
17.(本小题满分14分)
如图,正方体的棱长为2,E为AB的中点.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求异面直线BD1与CE所成角的余弦值;
(Ⅲ)求点B到平面的距离.
18.(本小题满分14分)
某造船公司年造船量是20艘,已知造船艘的产值函数为(单位:万元),成本函数为(单位:万元),又在经济学中,函数的边际函数定义为。
(Ⅰ)求利润函数及边际利润函数;(提示:利润=产值成本)
(Ⅱ)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?
(Ⅲ)求边际利润函数单调递减时的取值范围,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?
19.(本小题满分12分)
中央电视台《同一首歌》大型演唱会曾在我市湄洲岛举行,之前甲.乙两人参加大会青年志愿者的选拔.已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题。规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才能入选.
(Ⅰ)求甲答对试题数ξ的概率分布(列表)及数学期望;
(Ⅱ)求甲.乙两人至少有一人入选的概率.
20. (本小题满分14分)
如图所示,已知曲线交于点O.A,直线
面积的函数表达式为
(2)求函数在区间上的最大值.
21.(本小题满分14分)
已知曲线:(其中为自然对数的底数)在点处的切线与轴交于点,过点作轴的垂线交曲线于点,曲线在点处的切线与轴交于点,过点作轴的垂线交曲线于点,……,依次下去得到一系列点..…….,设点的坐标为().
(Ⅰ)分别求与的表达式;
(Ⅱ)设O为坐标原点,求
一.选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
B
C
A
B
D
A
B
二.填空题(本大题共5小题,满分20分)
则>0 ; 100.5000; ; ;
三.解答题(本大题共6小题,共80分)
16.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:由余弦定理,得= (2分) ∵,∴ .(4分)
(Ⅱ)解法一:将代入,得. ……6分
由余弦定理,得. ……8分
∵,∴.(10分) ∴.(12分)
解法二:将代入,得. ……6分
由正弦定理,得.(8分) ∵,∴.(10分)
又,则,∴。 ∴.(12分)
解法三:∵, 由正弦定理,得. ……6分
∵,∴. ∴.……8分
∴.∴ ……10分
∴. ……12分
17.(本小题满分14分)
解法一:(1)连接BD,由已知有 得…………………………………1分
又由ABCD是正方形,得:……2分 ∵与相交,∴……3分
(2)延长DC至G,使CG=EB,,连结BG.D
∴BG∥EC.∴就是异面直线BD1与CE所成角…………………………5分
在中, …………………6分
异面直线 与CE所成角的余弦值是 ……………………………8分
(3)∵ ∴ 又∵ ∴ 点E到的距离,有: ,…………11分
又由 , 设点B到平面的距离为,
则 , 有,, 所以点B到平面的距离为…14分
解法二:(1)见解法一…………………………3分
(2)以D为原点,DA.DC.为轴建立空间直角坐标系,则有B(2,2,0).(0,0,2).E(2,1,0).C(0,2,0).(2,0,2)∴(-2,-2,2),(2,-1,0)………5分
……7分 即……余弦值是 ……8分
(3)设平面的法向量为, 有:,,…………8分
由:(0,1,-2),(2,-1,0)…………………………9分
可得:,令,得 …………………………11分
由(0,1,0) 有:点B到平面的距离为………………14分
18.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ),; 2分
,.…………… 4分
(Ⅱ)
即年造船量安排12 艘时,可使公司造船的年利润最大. ……………………8分
(Ⅲ) ……………………11分
所以,当时,单调递减,的取值范围为,且 …………12分
是减函数的实际意义:随着产量的增加,每艘船的利润在减少.14分
19.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)依题意,甲答对试题数ξ的可能取值为0.1.2.3,则
,,, (4分)
ξ
0
1
2
3
P
其分布列如下:
甲答对试题数ξ的数学期望:
Eξ=.…………6分
(Ⅱ)设甲.乙两人考试合格的事件分别为A.B,则
P(A)==, P(B)= .………9分
因为事件A.B相互独立,
∴甲.乙两人考试均不合格的概率为 ,
∴甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为 .
答:甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为. …………………12分
另解:甲.乙两人至少有一个考试合格的概率为(三种情况两两互斥.A.B相互独立)
.
答:甲.乙两人至少有一人考试合格的概率为.
20.(本小题满分14分)
解:(1)由 又由已知得 2分
故
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