2008~2009学年度第一学期高三期中联考
数学试题
本试卷满分160分，考试时间120分钟．解答直接做在答题纸上．
一、
YCY
1．已知集合，，则__ ▲ ．
2．复数在复平面上对应的点位于第 __ ▲ 象限．
3．根据表格中的数据，可以判定方程的一个零点所在的区间为，则的值为__ ▲ ．
x
－1
0
1
2
3
0.37
2.72
7.39
20.09
4
5
4. 若x, y满足条件的最大值等于 ▲ ．
5．设则tan的值等于__ ▲ ．
6．设是定义在上的奇函数，且当时，，则__▲___．
7．在△ABC中，BC=1，，当△ABC的面积等于时，__ ▲ ．
8．若曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为 ▲ ．
9．设是一次函数，，且成等比数列，则…_ ▲ ．
10．函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，则的最小值为__ ▲ ．
11．设O是△ABC内部一点，且的面积之比为__▲ ．
12．若函数是定义在（0，+）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足，则不等式的解集为__ ▲ ．
13.第29届奥运会在北京举行.设数列=，定义使为整数的实数k为奥运吉祥数，则在区间[1，2008]内的所有奥运吉祥数之和为____▲____．
14．给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数 最近的整数，记作，即 . 在此基础上给出下列关于函数的四个命题： ①函数的定义域是R，值域是[0，]；
②函数的图像关于直线(k∈Z)对称；
③函数是周期函数，最小正周期是1；
④ 函数在上是增函数；
则其中真命题是__ ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）已知向量，，函数．
试题详情
（1）求的最大值及相应的的值；
（2）若，求的值．
16．(本题满分14分) 已知mÎR，设P：不等式；Q：函数在(－¥,+¥)上有极值．求使P正确且Q正确的m的取值范围．
17．(本题满分14分)已知函数的图象关于原点对称．
(1) 求m的值；
(2)判断函数在区间上的单调性并加以证明；
(3)当的值域是，求与的值.
18．（本小题满分16分）设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，为数列的前项和. 求证：.
19．(本题满分16分) 徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a>0)．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
20．（本题满分16分）已知．
(1) 求函数在上的最小值；
(2) 对一切，恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 证明: 对一切，都有成立．
一、填空题：
1. 2. 三 3. 1 4. 25 5. 6. -1 7. 8. (1,0)
9. 10. 8 11. 1 12. （0，2） 13. 2026 14. ①②③
二、解答题：
15. 解：（1）因为，，所以
…………………………4分
……………………………………………………..6分
因此，当，即（）时，取得最大值；…8分
（2）由及得，两边平方得
，即．……………………………………………12分
因此，．……………………………14分
16.解：由已知不等式得
①
或 ②
不等式①的解为
不等式②的解为或…………………………………………………4分
因为，对或或时，P是正确的………………………..6分
对函数求导…8分
令，即
当且仅当D>0时，函数f()在(－¥,+¥)上有极值
由得或，
因为，当或时，Q是正确的………………………………………………12分
综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为(-¥,-1)È……….14分
17.解：（1）因为函数的图象关于原点对称，所以即，
，得或……………………………………….2分
当时，舍去；
当时，，令，解得或.
所以符合条件的m值为-1 …………………………………………………………………4分
（2）由（1）得，任取，
……………………6分
∴，
∴………………………………………………………………….8分
∴当时，即，此时为增函数；
当时，即，此时为减函数…10分
（3）由（2）知，当时在上为减函数；同理在上也为减函数
当时，与已知矛盾，舍去；………………12分
当时，因为函数的值域为
∴且，解得，……………………………………14分
18.解：（1）由，令，则，又，所以.
，则. …………………………………………………………………………………….2分
当时，由，可得. 即..6分
所以是以为首项，为公比的等比数列，于是. ……8分
（2）数列为等差数列，公差,可得. ….10分
从而. ……………………………………………..12分
∴……….16分
19.解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为 ……………………………………….4分
故所求函数及其定义域为 ………………………….6分
(2)依题意知a，v都为正数，故有
当且仅当．即时上式中等号成立………………………...8分
（1）若，即时则当时，全程运输成本y最小.10分
（2）若，即时，则当时，有
.
。也即当v=100时，全程运输成本y最小．…….14分
综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为千米/时；
当时行驶速度应为v=100千米/时。………………………………………………16分
20．解： (1) ，当，，单调递减，当，，单调递增．………………………………………………………………..2分
① ，t无解；
② ，即时，；
③ ，即时，在上单调递增，；
所以．…………………………………………………………..6分
(2) ，则，………………………………………..8分
设，则，，，单调递减，，，单调递增，所以……………………….10分
因为对一切，恒成立，所以；………………..12分
（3） 问题等价于证明，由⑴可知的最小值是，当且仅当时取到………………………………………………………….14分
设，则，易得，当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．……………………………..16分
，
，则
__ ▲ ．
在复平面上对应的点位于第 __ ▲ 象限．
的一个零点所在的区间为
，则
的值为__ ▲ ．
的最大值等于 ▲ ．
则tan
的值等于__ ▲ ．
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，则
__▲___．
，当△ABC的面积等于
时，
__ ▲ ．
在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为 ▲ ．
是一次函数，
，且
成等比数列，则
…
_ ▲ ．
的图象恒过定点
，若点
的图象上，其中
，则
的最小值为__ ▲
．
的面积之比为__▲ ．
）上的增函数，且对一切x>0,y>0满足
，则不等式
的解集为__ ▲ ．
=
，定义使
为整数的实数k为奥运吉祥数，则在区间[1，2008]内的所有奥运吉祥数之和为____▲____．
（其中
为整数），则
最近的整数，记作
，即 
. 在此基础上给出下列关于函数
的四个命题：
的定义域是R，值域是[0，
]；
(k∈Z)对称；
在
上是增函数；
，
，函数
．
的最大值及相应的
的值；
，求
的值．
；Q：函数
在(－¥,+¥)上有极值．求使P正确且Q正确的m的取值范围．
的图象关于原点对称． 
在区间
上的单调性并加以证明；
的值域是
，求
与
的值.
的前
项和为
，且
；数列
为等差数列，且
，
.
，
为数列
的前
.
．
上的最小值；
，
恒成立，求实数a的取值范围；
成立．
2. 三 3. 1 4. 25 5. 
6. -1 7. 
8. (1,0) 
10. 8 11. 1 12. （0，2） 13. 2026 14. ①②③
，
，所以
…………………………4分
……………………………………………………..6分
，即
（
）时，
取得最大值
；…8分
及
得
，两边平方得
，即
．……………………………………………12分
．……………………………14分
①
②
或
求导
…8分
，即
得
或
，
的图象关于原点对称，所以
即
，
，得
或
……………………………………….2分
时，
舍去；
，令
，解得
或
.
，任取
，
……………………6分
∴
，
………………………………………………………………….8分
时，
即
，此时
时，
即
，此时
上为减函数；同理在
上也为减函数
时，
与已知矛盾，舍去；………………12分
时，因为函数
且
，解得
，
……………………………………14分
，令
，则
，又
，所以
.
，则
. …………………………………………………………………………………….2分
时，由
. 即
..6分 
是以
为公比的等比数列，于是
. ……8分
为等差数列，公差
,可得
. ….10分
. ……………………………………………..12分
……….16分
，全程运输成本为
……………………………………….4分
………………………….6分
．即
时上式中等号成立………………………...8分
，即
时则当
，即
时，则当
时，有
.
。也即当v=100时，全程运输成本y最小．…….14分
，当
，
，
，
，
，t无解；
，即
时，
；
，即
时，
上单调递增，
；
．…………………………………………………………..6分
，则
，………………………………………..8分
，则
，
，
，
单调递减，
，
，
……………………….10分
，
恒成立，所以
；………………..12分
，由⑴可知
的最小值是
，当且仅当
时取到………………………………………………………….14分
，则
，易得
，当且仅当
时取到，从而对一切
成立．……………………………..16分