贵阳六中2009届高三月考(10月) 数 学2008.10.04下午

一.选择题: (本大题共12小题,每小题5分,共60分).

1．若集合S = {a, b, c} (a, b, c∈R)中三个元素为边可构成一个三角形，那么该三角形一定

不可能是A．锐角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形  

2．若命题“p且q”与命题“p或q”都是假命题，则下列判断正确的是    

A．命题“非p”与q的真假相同     B．命题“非p”与“非q”真假不同

C．命题“非p且非q”是真命题     D．命题“非p”与“非q”中至少有一个是假命题

3．(理) 若函数则是函数的         

A．极限不存在的点       B．无定义的点       C．连续点       D．不连续点

(文) 曲线在处的切线的倾斜角是                      A． B．      C．  D．

4．(理) 设随机变量则P（=2）等于  A．    B．     C．     D．

  (文) 已知x∈, sin x = , 则tan x 等于   A．-  B． C．-  D．

5．的展开式中的常数项为 A．7     B．-7    C．28     D．-28 

6．有一道数学难题，学生A解出的概率为，学生B解出的概率为，学生C解出的概

率为，若A、B、C三学生独立去解答此题，则恰有1人解出的概率为    

A．          B．       C．         D．1

7．若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为

A．       B．     C．          D．

 8．双曲线的渐近线方程是4y ± 3x = 0, 则该双曲线的离心率是            

A．或       B． 或       C．        D．

9．已知直线，直线，给出下列命题:

    ① ∥；② ∥m ③ ∥                       ④ ∥

其中正确命题的序号是A．①②③    B．②③④    C．②④    D．①③ 

10. 从6个教室中至少安排两个教室供学生上自修课, 则可能安排的情况共有

A．15种         B．30种         C．56种        D．57种

11．定义在区间 [a , b] (b > a )上的函数 f (x) =sin x - cos x 的值域是 [-, 1]，则 b - a 的最大值 M 和最小值 m 分别是                                        

A．m =,  M =  B．m = ,  M =  C．m = , M = D．m = , M = 2p

12．(理) 在等比数列中，首项，且前项和满足，那么的取值范围是A．（1，2）   B．（1，）   C．（1，4）   D．（1，+∞）    

 (文) 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为

分数

5

4

3

2

1

人数

20

10

30

30

10

A．    B． C．3      D．

二.填空题: (本大题共4小题,每小题5分,共20分.)

13．已知二次函数f ( x ) 满足f (2 + x ) = f (2 - x )，且 f (2) = 1， f (0) = 3， 如果 f ( x ) 在区间 [0，m] 上最小值为1，最大值为3，则m的取值范围是                   。

14．抛物线y的焦点到准线的距离为               

15．如图，正三角形P₁P₂P₃，点A、B、C分别为

边 P₁P₂，P₂P₃，P₃P₁的中点，沿AB、BC、CA折

起，使 P₁、P₂、P₃ 三点重合后为点 P，则折起后

二面角P ― AB ― C的余弦值为        .

16．给出如下命题：

（1）如果为奇函数，则其图象必过（0，0）点；

（2）与的图象若相交，则交点必在直线上；

（3）若对定义域R内任意实数恒有，则必为奇函数；（4）函数=的极小值为2，极大值为－2。其中真命题的序号为          。

三.解答题: (本大题共6小题,,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分10分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，表示该三角形的面积，且（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求b的值                                          

18．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.（Ⅰ）求证：PC⊥AB；（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小；

19． (本小题满分12分)

（理）在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布。已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名。

（Ⅰ）、试问此次参赛学生总数约为多少人？（Ⅱ）、若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？

可共查阅的（部分）标准正态分布表

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.2

1.3

1.4

1.9

2.0

2.1

0.8849

0.9032

0.9192

0.9713

0.9772

0.9821

0.8869

0.9049

0.9207

0.9719

0.9778

0.9826

0.888

0.9066

0.9222

0.9726

0.9783

0.9830

0.8907

0.9082

0.9236

0.9732

0.9788

0.9834

0.8925

0.9099

0.9251

0.9738

0.9793

0.9838

0.8944

0.9115

0.9265

0.9744

0.9798

0.9842

0.8962

0.9131

0.9278

0.9750

0.9803

0.9846

0.8980

0.9147

0.9292

0.9756

0.9808

0.9850

0.8997

0.9162

0.9306

0.9762

0.9812

0.9854

0.9015

0.9177

0.9319

0.9767

0.9817

0.9857

（文） 已知10件产品中有3件是次品.（I）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；（II）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？

20．(本小题满分12分)  (理) 求函数在[0，2]上的最大值和最小值.

   (文)  若函数在区间(1，4)内为减函数，在区间

(6，+∞)上为增函数，试求实数a的取值范围.

21. (本小题满分12分)  已知｛a_n｝是正数组成的数列，a₁=1，且点（）（nN*）在函数y=x²+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a_n｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b_n｝满足b₁=1,b_n+1=b_n+，求证：b_n       ?b_n+2＜b²_n+1.

22．(本小题满分12分)椭圆E的中心在原点O，焦点在轴上，其离心率, 过点C（－1,0）的直线与椭圆E相交于A、B两点，且满足点C分向量的比为2。（1）用直线的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。

一.选择题: (本大题共12小题,每小题5分,共60分.)

题号

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

10

11

12

答案

 B

 C

 D

 A

 A

 B

 D

 A

 D

 D

 C

 B

二.填空题: (本大题共4小题,每小题4分,共16分.)

13．[ 2 , 4 ]             14．             15．        16．（3）(4)

三.解答题: (本大题共6小题,,共74分.)

17．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由  可得：

又.  --------5分（Ⅱ），

. -----------10分

18．（本小题满分12分）

解法一：（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD. ∵AP=BP，∴PD⊥AB.∵AC=BC.∴CD⊥AB.∵PD∩CD＝D.

∴AB⊥平面PCD.∵PC平面PCD，∴PC⊥AB.

（Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP,

∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC，∴PC⊥BC.

又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，

∴AB＝BP，∴BE⊥AP.

∵EC是BE在平面PAC内的射影，

∴CE⊥AP.∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE=，

∴sin∠BEC=∴二面角B-AP-C的大小为aresin

解法二：

（Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP,∴△APC≌△BPC.又PC⊥AC.

∴PC⊥BC.∵AC∩BC=C,∴PC⊥平面ABC.∵AB平面ABC，∴PC⊥AB.

(Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz.

则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.

设P（0，0，t）,

∵｜PB｜=｜AB｜＝2，∴t=2,P(0,0,2).

取AP中点E，连结BE，CE.

∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜,

∴CE⊥AP,BE⊥AP.

∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角.

∵E(0,1,1),

∴cos∠BEC=

∴二面角B-AP-C的大小为arccos

19．（本小题满分12分）

（理）解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，

P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.228.

这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28％，因此，

参赛总人数约为≈526（人）。

（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则

P(≥x)＝1－P（<x）＝1－F(x)＝1－＝＝0.0951，

即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1.

故设奖得分数线约为83.1分。

（文）解：（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为…………3分至少有一件是次品的概率为……………………6分

（2）设抽取n件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为………8分

由

整理得：，……………………10分

   ∴当n=9或n=10时上式成立.…………11分

答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为为了保证使3件次

品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.………………12分

20．（本小题满分12分）

(理)   解：  ………………2分

令 

化简为  解得   ………………5分

当单调增加；

当单调减少.

所以为函数的极大值. ………………8分

又因为      ………………10分

所以   为函数在[0，2]上的最小值，为函数

在[0，2]上的最大值.     ………………12分

(文) 解：函数的导数   .………………2分

令，解得 x = 1 或x = a - 1   .………………5分

当a - 1≤1 即 a≤2 时, 函数 f ( x ) 在 ( 1 , + ¥ ) 上是增函数, 不合题意.

当a - 1 > 1 即 a >2 时, 函数 f ( x ) 在 ( - ¥, 1 ) 上是增函数, 在 ( 1 , a - 1 ) 内为减函数, 在( a - 1, + ¥ ) 内为增函数.     .………………8分

依题意应有 当.…………10分

所以    解得

所以a的取值范围是[5，7].  .………………12分

21．（本小题满分12分）

解：解法一：

（Ⅰ）由已知得a_n+1=a_n+1、即a_n+1-a_n=1，又a₁=1,

所以数列｛a_n｝是以1为首项，公差为1的等差数列.

故a_n=1+(n-1)×1=n.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知：a_n=n从而b_n+1-b_n=2ⁿ.b_n=(b_n-b_n-1)+(b_n-1-b_n-2)+­­­­­­­­­­­???+（b₂-b₁）+b₁

=2^n-1+2^n-2+???+2+1＝=2ⁿ-1.

因为b_n?b_n+2-b=(2ⁿ-1)(2ⁿ⁺²-1)-(2^n-1-1)²=(2²ⁿ⁺²-2ⁿ⁺²-2ⁿ+1)-(2^2n+2-2-2n+1-1)=-5?2ⁿ+4?2ⁿ

=-2ⁿ＜0,

所以b_n?b_n+2＜b,

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因为b₂=1,

b_n?b_n+2- b=(b_n+1-2ⁿ)(b_n+1+2ⁿ⁺¹)- b

            =2ⁿ⁺¹?b_n-1-2ⁿ?b_n+1-2ⁿ?2ⁿ⁺¹＝2ⁿ（b_n+1-2ⁿ⁺¹）

=2ⁿ（b_n+2ⁿ-2ⁿ⁺¹）=2ⁿ（b_n-2ⁿ）

=…=2ⁿ（b₁-2）=-2ⁿ〈0，

所以b_n-b_n+2<b²_n+1

22．（本小题满分14分）

解：（1）设椭圆E的方程为( a＞b＞0 )，由e =

∴a²=3b²   故椭圆方程x² + 3y² = 3b²     ……………… 1分

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),由于点C（－1，0）分向量的比为2，