揭阳市云路中学2009届高三数学（理科）第三次测试试题
（不等式、极坐标）2008.09.20
班级： 姓名： 座号： 评分：
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1、不等式
的解集为( )
（Ａ）
（Ｂ）
（Ｃ）
（Ｄ）
2
若
，则函数
有（ ）
A 最小值
B 最大值 C 最大值
D 最小值
3 若
，则函数
的最小值为（ ）
A 
B 
C 
D 非上述情况
4. 设奇函数
在
上为增函数，且
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.
若
为不等式组
表示的平面区域，则当
从－2连续变化到1时，动直线
扫过中的那部分区域的面积为 （ ）
B
C
6. 设不等的两个正数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A 
B 
C 
D
7. 若
，且
, 
，则
与
的大小关系是
A 
B 
C 
D 
8. 已知
，则使得
都成立的
取值范围是（ ）
A.（0，
） B. （0，
） C.
（0，
） D. （0，
）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题（本大题共6小题，共30分，把答案填写在答题卡相应位置上）
9. 点M的极坐标为（－2，－
），则直角坐标是
。
10. 直线
的极坐标方程为____________________。
11.已知曲线
的极坐标方程分别为
，
，则曲线
与
交点的极坐标为
．
12. 若不等式｜3x-b｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围为____________.
13.不等式
的解集为
．
14. 已知函数
，则不等式
的解集是
三、解答题（有6大道题，共80分，要求写出推理和运算的过程）
15. （14分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的
左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为
,四周空白的宽度为
定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？
16. （12分）设a，b，c为正实数，求证：
．
17.（14分）已知函数
。
（1）作出函数
的图像；
（2）解不等式
。
18.（12分）求函数
的最大值
19. （14分）设
（1）证明A>
;
（2）
20．（14分）A是由定义在
上且满足如下条件的函数
组成的集合：①对任意
，都有
； ②存在常数
，使得对任意的
，都有
（1）设
，证明：
;
（2）设,如果存在
,使得
,那么这样的
是唯一的;
（3）设,任取
,令
证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式
.
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
C
B
D
A
B
A
B
1. A∵
∴
即
， 
，
∴
故选A；
C 
3 B 
4. D．由奇函数
可知
，而
，则
，当
时，
；当
时，
，又在
上为增函数，则奇函数在
上为增函数，
.
5 A 如图知
是斜边为3 的等腰直角三角形，
是直角边为1等腰直角三角形，区域的面积
6. B 
，而
所以
，得
7. A 
，即
8. B
，所以解集为
，
又
，因此选B。
二、填空题
9. （－
，1）. 10. 
. 11. 
12. 
13. 
.
14. 
.
9. 
，
，
∴点M的直角坐标为（－，1）。
10.
11. 联立解方程组
解得
，
即两曲线的交点为
12. . ∴
，
13. . 
14. .依题意得
所以
，
三、解答题
15解：解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000. ①
广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.
广告的面积S＝(a+20)(2b+25)
＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2
=18500+
当且仅当25a＝40b时等号成立，此时b=
,代入①式得a=120，从而b=75.
即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.
故广告的高为140 cm,宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
解法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，
其中x＞20，y＞25
两栏面积之和为2(x－20)
,由此得y=
广告的面积S=xy=x(
)＝x,
整理得S=
因为x－20＞0，所以S≥2
当且仅当
时等号成立，
此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=
+25,得y＝175，
即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，
故当广告的高为140 cm，宽为175 cm时，可使广告的面积最小.
16. 证明：因为
为正实数，由平均不等式可得
即
所以
，
而
所以 
17. 解：（Ⅰ）
图像如下：
（Ⅱ）不等式
，即
，
由
得
．
由函数图像可知，原不等式的解集为
18.解：函数的定义域为
，且
19. （1）A
=
（2）
．
∴
20．解：对任意
,
,
,
,所以
,对任意的
，
，
，所以
0<
,令=
，
，
,所以
．
反证法:设存在两个
使得
,
则
由
，得
，所以
，矛盾，故结论成立。
，所以
+…
．