湖北省武汉市武昌区 2009届高三年级五月调研测试
文 科 数 学 试 卷
2009.5.21
本试卷满分150分，考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自已的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准
考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。非选择题用黑色墨水的签字笔直接答在答
题卡上。答在试题卷上无效。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
如果事件A、B相互独立，那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是
，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式
，其中
表示球的半径
球的体积公式
，其中表示球的半径
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．“
”是“
，
”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知I为实数集，集合
，则
=（ ）
A.
B.
C.
D.
3．已知数列｛
｝的各项均为正数，
，点
在抛物线
上，则过点P(
,
)和Q（+2, 
）(n∈
)的直线的一个方向向量的坐标可以是（ ）
A.（２，
） Ｂ．（－１，－１） Ｃ．（－，－１） Ｄ．（－，－２）
4．直线
(
为实数)与圆
的位置关系为（ ）
A．相交 Ｂ．相切 Ｃ．相离 Ｄ．不确定
5．
展开式的各项系数和大于8且小于32，则展开式中系数最大的项是（
）
A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．或
6．在等比数列
中，
，且
，则
=( )
A．16 Ｂ．27 Ｃ．36 Ｄ．81
7．已知三条不同的直线
、、
，两个不同平面、
. 有下列命题：
①
，，∥，∥，则∥；
②若，，⊥，⊥，则⊥；
③若⊥，⊥，⊥，则⊥；
④若∥，，
，则∥.
其中正确的命题是（ ）
A．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①② Ｄ．③④
8．正四面体的四个面上分别写有１，２，３，４，将３个这样均匀的四面体同时投掷于桌面上，则与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被３整除的概率为（ ）
A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9．函数
的图象是中心在原点，焦点在
轴上，且长轴长为4，短轴长为2的椭圆在一、三象限内的两段弧，则不等式
＜
+的解集为（ ）
A．｛
｜
＜＜0，或
＜
2｝
Ｂ．｛｜-2≤＜，或＜≤2｝
Ｃ．｛｜-2≤＜
，且≠0｝
Ｄ．｛｜-2≤＜，或＜≤2｝
10．不等式组
所确定的平面区域记为D，若圆O：
上的所有点都在区域D内，则圆O的面积的最大值是（ ）
A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ． 
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡相应位置上.
11．双曲线
的焦点坐标为
.
12．一样本的所有数据分组及频数如下：
―0.5，0.5），
0.5，1.5），
1.5，2.5），
2.5，3.5），
3.5，4.5），
4.5，5.5），
则某数据在1.5，4.5）内的频率为
.
13．如图，在半径为
，圆心角为60°的扇形OAB中，点C为弧AB的中点，按如图截出一个内接矩形，则矩形的面积为
.
14．设函数
，若
时，
恒成立，则实数
的取值范围是_____________．
15．直三棱柱ABC―A1B，BC=C
三.解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知
，
，其中
，设函数
.
（1）求函数
的值域；
（2）若
，求的值.
17．（本小题满分12分）如图所示，在直角梯形ABCP中，AP//BC，AP
AB， AB=BC=
，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将
沿CD折起，使得
平面ABCD．
（1）求证：AP//平面EFG；
（2）求二面角
的大小．
18. （本小题满分12分）
某公司的“咨询热线”电话共有6条外线，经长期统计发现，每天在电话高峰期，外线同时打入的概率如下表（记电话同时打入数为
）：
0
1
2
3
4
5
6
P
0.13
0.35
0.27
0.14
0.08
0.02
0.01
如果公司只安排两位接线员(一位接线员一次只能接一个电话).
（1）求每天电话高峰期内至少有一个电话不能一次接通的概率（用最简分数表示）；
（2）公司董事会决定，把“一周五个工作日中至少有四天在电话高峰期内电话都能一次接通”的概率视作公司的“美誉度”，如果“美誉度”低于0.8，就增派接线员，请你帮助计算一下，该公司是否需要增派接线员？
19．（本小题满分12分）
已知函数的导函数
.
⑴ 求函数的单调区间；
⑵ 若在区间
，
上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
20．（本小题满分13分）
已知椭圆
的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的等腰直角三角形.
（1）求椭圆的方程；
（2）若A、B分别是椭圆的左、右顶点，点M满足MB⊥AB，连接AM，交椭圆于P点，试问：在轴上是否存在异于点A的定点C，使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点，若存在，求出C点的坐标；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分14分）
已知函数
，M（
，
）、N（
，
）是图象上的两点，横坐标为
的点P满足
=
+
(O为坐标原点).
⑴ 求证：+为定值；
⑵ 若
+
+…+
，其中
，且≥2，求
；
⑶ 已知
其中，
为数列｛
｝的前n项和，若＜
对一切都成立，试求m的取值范围.
又在三角形PAC中,E,O分别为PC,AC的中点,
PA//EO.
平面EFOG，PA平面EFOG，
PA//平面EFOG，即PA//平面EFG． ………………
…………………………6分
方法二：连AC,BD交于O点,连GO,FO,EO．
∵E,F分别为PC,PD的中点,∴
//
,
同理
//
又
//AB,
//
.
平面EFG//平面PAB.
又PA平面PAB,
平面EFG．…………………………………………6分
（2）取AD的中点H，连结GH，则由
知平面EFG即为平面EFHG。
∴
的单调减区间为
和
，单调增区间为
. …………4分
（2）设
，则
.
∴3
=
―3，2
=6，
=9，即= ―1，=3，=9.
故
.
………………………………………………8分
由⑴ 知在
上单调递减,在
上单调递增.
又
＞
=2+
，
∴
.
所以在
上的最小值为
. ………………………………12分
20．解:（1）由题意知
解得
，从而
.
21.解:（1）由已知可得
, ∴P是MN的中点，有
+
=1.
从而
+
=
+
=
=
为定值. ………………………………………4分
（2）由⑴ 知当+=1时，+=
+
=1.
+
+…+
,
①
又
+…+ 
,
②
① + ② 得
，故
.…………………………………8分
（3）当≥2时，
.
