2009届高三10月期中试题
数学（理科）
一、选择题：（本大题共有10个小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。）
1、已知集合
，
，若
，则
等于
A、1 B、
D、1或2
2、若p、q为简单命题，则“p且q为假”是“p或q为假”的
A、充分不必要的条件 B、必要不充分的条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要的条件
3、直线
的倾斜角是
A、
B、
C、
D、
4、设函数f(x)=
在点x=1处连续，则a等于
A、-
B、
C、-
D、
5、若函数
内为增函数，则实数
的取值范围
A、
B、
C、
D、
6、已知函数y=sin(ωx+φ)与直线y=的交点中，距离最近的两点间的距离为
,那么此函数的最小正周期是
A、 B、π C、2π D、4π
7、设Sn、Tn分别为等差数列{an}与{bn}的前n项和，若＝，则
等于
A、 B、 C、 D、
8、已知
为
与
中较小者，其中
，若的值域为
，则
的值是
A、0 B、
C、
D、
9、给出下列四个函数
 |
f(x)=-
g(x)=1-||x|-1|;φ(x)=
h(x)=
及它们的图象
则图象①，②，③，④分别对应的函数为
A、φ(x),h(x),g(x),f(x) B、φ(x),g(x),h(x),f(x)
B、φ(x),h(x),f(x),g(x) D、φ(x),g(x),f(x),h(x)
10、已知方程
的取值范围
A、
B、
C、
D、
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、函数
的反函数是 。
12、等差数列{an}中，a
a4a10a16a19
150,则
的值是 。
13、函数
在其定义域上单调递减，且值域为
，则它的反函数的值域是____________________。
14、
值是
。
15、若函数是定义在实数集上的奇函数，且
，给出下列结论：
①
；②以4为周期；③的图象关于
轴对称；④
、
这些结论中正确的有____________（必须填写序号）。
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16、(本小题满分12分)已知集合
，
（1）当
时，求A∩
；（2）若
，求实数的值。
17、(本小题满分12分)
已知向量
(1)求sinα-cosα的值； (2)求
的值。
18、(本小题满分12分)已知
是数列
的前
项和，
，且
，其中
。
(1)求数列的通项公式
； (2)计算
的值。
19、（本题满分13分）已知函数
的图象与函数
的图象关于点（1，0）对称。
（1）求函数
的表达式；
（2）设函数
R），求
的最小值。
20、（本题满分13分）定义函数
（1）求证
（2）设
21、(本小题满分13分)
设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*都有a
+a
+a
,其中Sn为数列{an}的前n项和。
(1)求证：a
;
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)设bn=3n+(-1)n-1λ?
(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*,都有bn+1>bn成立。
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
D
A
B
C
D
C
a
二 填空题：
11：f－1(x)＝lnx－1 (x>0). 12：-30
13：
14：1
15：①②④;
三、解答题
16．
………………………………………………… 2分
⑴当
时，
，………………………………… 3分
则
，…………………………………… 5分
∴
＝｛x│3≤x≤5｝………………………………………… 7分
⑵∵，
，
∴有
，解得
，…………………………… 10分
此时
，符合题意．………………………… 12分
17．解：⑴∴
=(sinα,1)共线
∴sinα+cosα=
………………………………… 2分
故sin2α=-
从而(sinα-cosα)2=1-sin2α=
……………………… 4分
∴α∈(-
)∴sinα<0，cosα>0
∴sinα-cosα=-
……………………………………………6分
⑵∵
=2cos2α=1+cos2α…9分
又cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα)=
∴原式=1+
…………………………………………………… 12分
18.
解：⑴
....................................2分
又
也满足上式，
（
）
数列
是公比为2，首项为
的等比数列...........4分
...........................6分
⑵
.................9分
于是
...................12分
19．⑴设
…………………………2分
…………4分
⑵由⑴，得
…………6分
（i）当
…………8分
（ii）
…………10分
（iii）当
…………12分
综上所述，
………………………………13分
20．解：⑴令
………………………… 1分
……………………………………… 2分
当－2＜x≤0时 g’‘（x）≤0；当x＞0时，g‘（x）＞0…………………… 3分
∴g（x）在（－2，0
上递减，在（0，+∞）上递增……………………… 4分
则x=0时 g（x）min=g（0）=0 g（x）≥g（x）min=0 ………………… 5分
即fn（x）≥nx ……………… 6分
⑵∵
即
…………… 7分
易得x0＞0 …………………………… 9分
而
由⑴知x＞0时（1+x）n＞1+nx 故2n+1=（1+1）n+1＞n+2 ∴x0＜1… 12分
综上0＜x0＜1 ……………………………… 13分
21．解：⑴由已知，当n=1时，a
,∵a1>0,∴a1=1. ………… 1分
当n≥2时，
…+
①
…+
②
由①―②得，a
……………………………………………3分
∵an>0, ∴a
=2Sn-1+an，即a=2Sn-an，
当n=1时，∴a1=1适合上式，
∴a
………………………………………………………5分
⑵由⑴知，a
,即a=2Sn-an(n∈
)③
当n≥2时，a
=2Sn-1-an-1
④
由③―④得，
a
=2(Sn-Sn-1)-an+an-1=2an-an+an-1=an+an-1……………………………7分
∵an+an-1>0,∴an-an-1=1,数列{an}是等差数列，首项为1，公差为1，
可得an=n. …………………………………………………………………9分
(3)∵an=n,∴bn=3n+(-1)n-1λ?
=3n+(-1)n-1λ?2n, …………………10分
要使bn+1> bn恒成立，
bn+1-bn=3n+1+(-1)nλ?2n+1-[3n+(-1)n-1λ?2n]
=2?3n-3λ(-1)n-1?2n>0恒成立
则（-1）n-1?λ<(
)n-1恒成立…………………………………………11分
当n为奇数时，即为λ<()n-1恒成立
又()n-1的最小值为1， ∴λ<1
当n为偶数时，即为λ>-()n-1恒成立
又-()n-1最大值为- ∴λ>-……………………………12分
∴-<λ<1，又λ≠0，∴λ=-1 ∴λ=-1，使得对任意n∈，都有bn+1>bn……………13分