安徽省安庆一中2009届高三第二学期模拟试卷
数学（七）
（考试时间:120分钟 满分：150分 ）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一个答案是正确的）
( )1、设，集合，则
A．1 B． C．2 D．
( )2、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B.
C. D.
( )3、设，，则
A． B． C． D．
( )4、若等差数列的前5项和，且，则
A．12 B．13 C．14 D．15
( )5、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中真命题是：
①若则；
②若则；
③若则；
④若m、n是异面直线，则
A．①和② B．①和③ C．③和④ D．①和④
A．96 B．84 C．60 D．48
( )7、函数的零点的个数是
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
( )8、一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是
A、 B、 C、 D、
二、填空题（共7小题，计30分。其中第9、10、11、12小题必做；第13、14、15题选做两题，若3题全做，按前两题得分计算。）
9、已知向量，，且，则 ．
10、的二项展开式中，的系数是________（用数字作答）．
11、已知数列满足：，，则通项公式＿＿＿。
12、设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f (x)的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+…+ f (2009)＝_____________
13、(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中，曲线和相交于点，则 ＝ ；
14、(不等式选讲选做题) 设，则的最小值为____．
15、(几何证明选讲选做题) 如图，⊙O的直径=6cm，是延长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为，连接， 若30°，PB = 。
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16、（本小题满分12分）
已知向量，，
（1）若，求向量、的夹角；
（2）当时，求函数的最大值。
17、（本小题满分12分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位
至少有一名志愿者．
⑴求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；
⑵求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
⑶设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数，求的分布列和数学期望．
18、（本小题满分14分）
某城市2008年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，根据城市规划，汽车保有量不能超过60万辆。
（1）如果每年新增汽车数量控制在3万辆，汽车保有量能否达到要求？（需要说明理由）
（2）在保证汽车保有量不超过60万辆的前提下，每年新增汽车数量最多为多少万辆？
19、（本小题满分14分）
已知
（1）若的图象有与轴平行的切线，求的取值范围；
（2）若在时取得极值，且，恒成立，求的取值范围．
20、（本小题满分14分）
如图1，矩形CDEF中DF＝2CD＝2，将平面ABCD沿着中线AB折成一个直二面角（如图2），点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a（0＜a＜）。
（1）求MN的长；
（2）当a为何值时，MN的长最小；
（3）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的钝二面角α的余弦值。
21、（本小题满分14分）
设单调递增函数的定义域为，且对任意的正实数x、y有：且．
（1）一个各项均为正数的数列满足：，其中为数列的前n项和,求数列的通项公式；
（2）在(1)的条件下，是否存在正数M，使下列不等式：
对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请说明理由．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
C
A
C
B
D
B
B
A
二、填空题（共7小题，计30分。其中第9、10、11、12小题必做；第13、14、15题选做两题，若3题全做，按前两题得分计算。）
9、 4 10、__10__（用数字作答）．11、__＿＿。12、___0___。
13、 ；14、___8_____．15、 3 。
三、解答题（考生若有不同解法，请酌情给分！）
16.解：（1）…………2分
……………………………………3分
………………………………………………5分
（2）…………………………7分
…………………………………9分
………………………………………10分
故
∴当………………………………12分
17．解：⑴、记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是．……………………4分
⑵、记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，
那么，…………………………………………………………6分
所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是．………8分
⑶、随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有两人同时参加岗位服务，则
．所以，
的分布列是：…………………………………………………………………… 10分
1
2
∴…………………………………………………………12分
18．
解：设2008年末汽车保有量为a1万辆，以后各年末汽车保有量依次为a2万辆，a3万辆，…，每年新增汽车x万辆。………………………………………………………………1分
a1＝30，a2＝a1×0.94＋x，a3＝a2×0.94＋x＝a1×0.942＋x×0.94＋x，…
故an＝a1×0.94n-1＋x（1＋0．94＋…＋0．94n-2）
．………………………………………………6分
(1):当x=3万辆时，an≤30
则每年新增汽车数量控制在3万辆时，汽车保有量能达到要求。……………9分
(2):如果要求汽车保有量不超过60万辆，即an≤60（n＝1，2，3，…）
则，
即．
对于任意正整数n，
因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，x≤3．6（万辆）．………………13分
答：若每年新增汽车数量控制在3万辆时，汽车保有量能达到要求；每年新增汽车不应超过3．6万辆，则汽车保有量定能达到要求。………………………………………14分
19．解：（1）…………………………………………………………2分
由己知有实数解，∴，故…………………5分
（2）由题意是方程的一个根，设另一根为
则，∴……………………………………………………7分
∴，
当时，；当时，；
当时，
∴当时，有极大值，又，，
即当时，的量大值为 ………………………10分
∵对时，恒成立，∴，
∴或………………………………………………………………13分
故的取值范围是 ………………………………………14分
20．解：（1）作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连结PQ，依题意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四边形，
∴MN=PQ.由已知，CM=BN=a，CB=AB=BE=1，
∴AC=BF=， .
即CP=BQ=.
∴MN=PQ=
（0＜a＜）.…………………………………5分
（2）由（Ⅰ），MN=，所以，当a=时，MN=.
即M、N分别移动到AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为.………8分
（3）取MN的中点G，连结AG、BG，∵AM=AN，BM=BN，G为MN的中点
∴AG⊥MN，BG⊥MN，∠AGB即为二面角α的平面角，………………………11分
又AG=BG=，所以，由余弦定理有cosα=.
故所求二面角的余弦值为－.………………………………………………………14分
（注：本题也可用空间向量，解答过程略）
21．解：⑴、对任意的正数均有且．
又
，…………………………………………………4分
又是定义在上的单增函数，．
当时，，．，．
当时，，
．，
为等差数列，，． ……………………………6分
⑵、假设存在满足条件，即
对一切恒成立．
令，
，………………………10分
故，………………………12分
，单调递增，，．
．……………………………………………………………14分
（考生若有不同解法，请酌情给分！）