北京先知文化中心2009届高三模拟测试（二）
数学文科试题
（试卷总分150分 考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）
1．的值是（ ）
A． B． C． D．
2．某大学有学生1500人，其中汉族学生1200人，回族学生250人，藏族学生50人，学校食堂为了解学生的就餐情况，现抽取容量是150的样本，则抽取回族学生人数是（ ）
A．15 B．25 C． 35 D． 45
3．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．设向量，，若∥，则（ ）
A．-1 B．1 C． 4 D． 6
5．已知正项等差数列的前6项和为9，成等比数列，则数列的公差为（ ）
A． B． C．或 D． 或
6．若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则此双曲线的渐近线方程是( )
A. y=x+3 B. y=x-5 C. y=x D.
7.设、为正实数，则下列不等式恒成立的是( )
①；②；③；④。
A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
8．设是展开式的中间项，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．函数的最小正周期是( )
A. B. C. D.
10．用平面截半径为的球，若截面圆的内接正三角形的边长亦为，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
11.设是函数的反函数，则与的大小关系为（ ）
A． B.
C． D
12．直线，将圆面分成若干块，现用5种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂法，则m的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确的答案填在指定位置上）
13． “”是“表示直线右侧区域”的 条件。
14．已知数列的前项和比集合的子集个数少１，则数列通项公式是 。
15.如图，正四面体中，是底面上的高，为的中点，则与所成角的余弦值为 。
16,已知点为的准线与轴的交点,点为焦点，点为抛物线上两个点，若，则向量与的夹角为 。
三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
17.(本小题满分10分)
已知的内角的对边分别为，其中，，
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求的面积。
18. (本小题满分12分)
高中会考成绩分A，B，C，D四个等级，其中等级D为会考不合格，某学校高三学生甲参加语文、数学、英语三科会考，三科会考合格的概率均为，每科得A，B，C，D 四个等级的概率分别为，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若有一科不合格，则不能拿到高中毕业证，求学生甲不能拿到高中毕业证的概率；
（Ⅲ）若至少有两科得A，一科得B，就能被评为三好学生，则学生甲被评为三好学生的概率；
19．（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，且，，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）设，求数列的前项和。
20．(本小题满分12分)
已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，∥，，，点、分别在棱、上，且平面，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正切值的大小；
（Ⅲ）求与平面所成角正切值的大小。
21．(本小题满分12分)
已知抛物线与椭圆都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。
（Ⅰ）求抛物线与椭圆的方程；
（Ⅱ）已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。
22．(本小题满分12分)
已知函数的导函数是偶函数，
（Ⅰ）若，求函数的极值；
（Ⅱ）设函数在点处的切线斜率为，若在区间上为增函数，求的取值范围。
1．解析：，故选A。
2．解析：抽取回族学生人数是，故选B。
3．解析：由，得，此时，所以，，故选C。
4．解析：∵∥，∴，∴，故选C。
5．解析：设公差为，由题意得，；，解得或，故选C。
6．解析：∵双曲线的右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴，又∵，∴，∴双曲线的渐近线方程是,故选D.
7.解析：∵、为正实数，∴，∴；由均值不等式得恒成立，，故②不恒成立，又因为函数在是增函数，∴，故恒成立的不等式是①③④。故选C.
8．解析：∵，∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，∴，故选D。
9．解析：∵
，∴此函数的最小正周期是，故选C。
10．解析：如图，∵正三角形的边长为，∴，∴，又∵，∴，故选D。
11．解析：∵在区间上是增函数且，∴其反函数在区间上是增函数，∴，故选A
12．解析：如图，①当或时，圆面被分成2块，涂色方法有20种；②当或时，圆面被分成3块，涂色方法有60种；
③当时，圆面被分成4块，涂色方法有120种，所以m的取值范围是，故选A。
13．解析：将代入结果为，∴时，表示直线右侧区域，反之，若表示直线右侧区域，则，∴是充分不必要条件。
14.解析：∵，∴时，，又时，满足上式，因此，。
15．解析：设正四面体的棱长为，连，取的中点，连，∵为的中点，∴∥，∴或其补角为与所成角，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴与所成角的余弦值为。
16．解析：∵，∴，∵点为的准线与轴的交点，由向量的加法法则及抛物线的对称性可知，点为抛物线上关于轴对称的两点且做出图形如右图，其中为点到准线的距离，四边形为菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∴向量与的夹角为。
17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，，，…2分
∴，，………4分
（Ⅱ）∵，，∴，∴，………………………6分
又∵，∴，∴，………………………8分
∴。………………………10分
18.解析：（Ⅰ）∵，∴；……………………理3文4分
（Ⅱ）∵三科会考不合格的概率均为，∴学生甲不能拿到高中毕业证的概率；……………………理6文8分
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分别为，∴学生甲被评为三好学生的概率为。……………………12分
19．(12分)解析：（Ⅰ）∵，∴，
，，………………………3分
（Ⅱ）∵，∴，
∴，
又，∴数列自第2项起是公比为的等比数列，………………………6分
∴，………………………8分
（Ⅲ）∵，∴，………………………10分
∴。………………………12分
20．解析：（Ⅰ）∵∥，，∴，∵底面，∴，∴平面，∴，又∵平面，∴，∴平面，∴。………………………4分
（Ⅱ）∵平面，∴，，∴为二面角的平面角，………………………6分
，，∴，又∵平面，，∴，∴二面角的正切值的大小为。………………………8分
（Ⅲ）过点做∥，交于点，∵平面，∴为在平面内的射影，∴为与平面所成的角，………………………10分
∵，∴，又∵∥，∴和与平面所成的角相等，∴与平面所成角的正切值为。………………………12分
解法2：如图建立空间直角坐标系，（Ⅰ）∵，，∴点的坐标分别是，，，∴，，设，∵平面，∴，∴，取，∴，∴。………………………4分
（Ⅱ）设二面角的大小为，∵平面的法向量是，平面的法向量是，∴，∴，∴二面角的正切值的大小为。………………………8分
（Ⅲ）设与平面所成角的大小为，∵平面的法向量是，，∴，∴，∴与平面所成角的正切值为。………………………12分
21.解析：（Ⅰ）设抛物线方程为，将代入方程得
所以抛物线方程为。………………………2分
由题意知椭圆的焦点为、。
设椭圆的方程为，
∵过点，∴，解得，，，
∴椭圆的方程为。………………………5分
（Ⅱ）设的中点为，的方程为：，
以为直径的圆交于两点，中点为。
设，则
∵
………………………8分
∴
………………………10分
当时，，，
此时，直线的方程为。………………………12分
22．(12分)解析：（Ⅰ）∵是偶函数，∴，
又∵∴，，………………………2分
由得，，
∵时，；时，；时，；∴时，函数取得极大值，时，函数取得极小值。………………………5分
（Ⅱ）∵在区间上为增函数，∴在上恒成立，∴
且在区间上恒成立，………………………7分
∴
∴……………………9分
又∵=，∵
∴，∴的取值范围是。………………………12分