北京先知文化中心2009届高三模拟测试（二）
数学理科试题
（试卷总分150分 考试时间120分钟）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）
1．的值是（ ）
A． B． C． D．
2．设，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，则与共线是与共线的（ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C．充要条件D． 既不充分也不必要条件
5．已知正项等差数列的前6项和为9，成等比数列，则数列的公差为（ ）
A． B． C．或 D． 或
6．若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则此双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
7.设、为正实数，则下列不等式恒成立的是( )
①；②；③；④。
A. ①③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③
8．设是展开式的中间项，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．函数的最小值是( )
A. B. C. D.
10．用平面截半径为的球，若截面圆的内接正三角形的边长亦为，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
11.设是函数的反函数，则与的大小关系为（ ）
A． B.
C． D
12．直线，将圆面分成若干块，现用5种颜色给这若干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有120种涂法，则m的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确的答案填在指定位置上）
13．若实数满足，则的最大值为 。
14．已知数列的前项和比集合的子集个数少１，则 。
15.如图，正四面体中，是底面上的高，为的中点，则与所成角的余弦值为 。
16,已知点为的准线与轴的交点,点为焦点，点为抛物线上两个点，若，则向量与的夹角为 。
三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．
17.(本小题满分10分)
已知的内角的对边分别为，其中，，
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求的面积。
18. (本小题满分12分)
高中会考成绩分A，B，C，D四个等级，其中等级D为会考不合格，某学校高三学生甲参加语文、数学、英语三科会考，三科会考合格的概率均为，每科得A，B，C，D 四个等级的概率分别为，
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若有一科不合格，则不能拿到高中毕业证，求学生甲不能拿到高中毕业证的概率；
（Ⅲ）若至少有两科得A，一科得B，就能被评为三好学生，则学生甲被评为三好学生的概率；
（Ⅳ）设为学生甲会考不合格科目数，求的分布列及的数学期望。
19．（本小题满分12分）
已知函数（为常数）．
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）若在定义域上是增函数，求实数的取值范围.
20．(本小题满分12分)
已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，∥，，，点、分别在棱、上，且平面，
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正切值的大小；
（Ⅲ）求与平面所成角正切值的大小。
21．(本小题满分12分)
已知双曲线：的离心率为，过右焦点做渐近线：的平行线
交双曲线与点，若，
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且
其中为原点，求的范围。
22．(本小题满分12分)
为数列的前项和且满足，若，则
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和；
（Ⅲ）设，求证：。
1．解析：，故选A。
2．解析：∵
，
故选B。
3．解析：由，得，此时，所以，，故选C。
4．解析：显然，若与共线，则与共线；若与共线，则，即，得，∴与共线，∴与共线是与共线的充要条件，故选C。
5．解析：设公差为，由题意得，；，解得或，故选C。
6．解析：∵双曲线的右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴，又∵，∴，∴，∴双曲线的离心率是。故选B.
7.解析：∵、为正实数，∴，∴；由均值不等式得恒成立，，故②不恒成立，又因为函数在是增函数，∴，故恒成立的不等式是①③④。故选C.
8．解析：∵，∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立，∴，故选D。
9．解析：∵
，此函数的最小值为，故选C。
10．解析：如图，∵正三角形的边长为，∴，∴，又∵，∴，故选D。
11．解析：∵在区间上是增函数且，∴其反函数在区间上是增函数，∴，故选A
12．解析：如图，①当或时，圆面被分成2块，涂色方法有20种；②当或时，圆面被分成3块，涂色方法有60种；
③当时，圆面被分成4块，涂色方法有120种，所以m的取值范围是，故选A。
13．解析：做出表示的平面区域如图，当直线经过点时，取得最大值5。
14.解析：∵，∴时，，又时，满足上式，因此，，
∴。
15．解析：设正四面体的棱长为，连，取的中点，连，∵为的中点，∴∥，∴或其补角为与所成角，∵，，∴，∴，又∵，∴，∴与所成角的余弦值为。
16．解析：∵，∴，∵点为的准线与轴的交点，由向量的加法法则及抛物线的对称性可知，点为抛物线上关于轴对称的两点且做出图形如右图，其中为点到准线的距离，四边形为菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∴向量与的夹角为。
17．(10分)解析：（Ⅰ）由正弦定理得，，，…2分
∴，，………4分
（Ⅱ）∵，，∴，∴，………………………6分
又∵，∴，∴，………………………8分
∴。………………………10分
18.解析：（Ⅰ）∵，∴；……………………理3文4分
（Ⅱ）∵三科会考不合格的概率均为，∴学生甲不能拿到高中毕业证的概率；……………………理6文8分
（Ⅲ）∵每科得A，B的概率分别为，∴学生甲被评为三好学生的概率为。……………………12分
∵，，，。……………………9分
∴的分布列如下表：
0
1
2
3
∴的数学期望。……………………12分
19．(12分)解析：（Ⅰ）时，
，，
由得， 或 ………3分
+
0
－
0
+
递增
极大值
递减
极小值
递增
， ………………………6分
（Ⅱ）在定义域上是增函数，
对恒成立，即
………………………9分
又（当且仅当时，）
………………………4分
20．解析：（Ⅰ）∵∥，，∴，∵底面，∴，∴平面，∴，又∵平面，∴，∴平面，∴。………………………4分
（Ⅱ）∵平面，∴，，∴为二面角的平面角，………………………6分
，，∴，又∵平面，，∴，∴二面角的正切值的大小为。………………………8分
（Ⅲ）过点做∥，交于点，∵平面，∴为在平面内的射影，∴为与平面所成的角，………………………10分
∵，∴，又∵∥，∴和与平面所成的角相等，∴与平面所成角的正切值为。………………………12分
解法2：如图建立空间直角坐标系，（Ⅰ）∵，，∴点的坐标分别是，，，∴，，设，∵平面，∴，∴，取，∴，∴。………………………4分
（Ⅱ）设二面角的大小为，∵平面的法向量是，平面的法向量是，∴，∴，∴二面角的正切值的大小为。………………………8分
（Ⅲ）设与平面所成角的大小为，∵平面的法向量是，，∴，∴，∴与平面所成角的正切值为。………………………12分
21.（Ⅰ） 解析：如图，设右准线与轴的交点为，过点分别向轴及右准线引垂线，∵，∴，又∵ ∥，∴，………………………2分
∴，又∵，∴，又∵，解得，∴，∴双曲线的方程为。………………………4分
（Ⅱ）联立方程组 消得：
由直线与双曲线交于不同的两点得：
即 于是 ，且 ………………①………………………6分
设、，则
……………………9分
又，所以，解得 ……………②
由①和②得 即 或
故的取值范围为。………………………12分
22．(12分)解析：（Ⅰ）∵，∴，∴，∴数列是等差数列，………………………2分
又∵，，∴公差为2，
∴，………………………4分
（Ⅱ）∵，∴，
∴数列是公比为2的等比数列，
∵，∴，………………………6分
（Ⅲ）∵，
∴………………………8分
∴………………………10分
∵，∴，又∵，∴………………………12分