云南省2009年曲靖一中高考冲刺卷
理科数学（五）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
1．复数，则在复平面内对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，那么的值
为
A．2 B． C．0 D．
3．函数在上恒有，则实数的取值范围是
A．（1，2） B．
C． D．
4．已知直线与椭圆总有交点，则m的取值范围为
A．（1，2] B．[1，2）
C． D．
5．从5名羽毛球队员中选3人参加团体比赛，其中甲在乙之前出场的概率为
A． B． C． D．
6．已知，则
A．1 B． C． D．2
7．已知的展开式前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的个数是
A．1 B．0 C．3 D．与有关
8．使函数是奇函数，且在上是减函数的的
一个值是
A． B． C． D．
9．已知表示的平面区域包含点（0，0）和（，1），则的取值范围是
A．（，6） B．（0，6） C．（0，3） D．（，3）
10．已知双曲线的左准线为，左、右焦点分别为、，抛物线的准 线为，焦点是，若与的一个交点为，则的值等于
A．40 B．32 C．8 D．4
11．某娱乐中心有如下摸奖活动：拿8个白球和8个黑球放在一盒中，规定：凡摸奖者，每 人每次交费1元，每次从盒中摸出5个球，中奖情况为：摸出5个白球中20元，摸出 4个白球1个黑球中2元，摸出3个白球2个黑球中价值为0．5元的纪念品1件，其 他情况无任何奖励。若有1560人次摸奖，不计其他支出，用概率估计该中心收入钱数 为
A．120元 B．480元 C．980元 D．148元
12．如图甲所示，四边形中，，将沿 折起，使平面平面，构成三棱锥，如图乙所示，则二面角 的正切值为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．不等式的解集是 ．
14．已知过球面上、、三点的截面和球心的距离是球直径的，且， 则球面的面积为 ．
15．设直线与圆的交点为，当、取最小值 时，实数的值为 ．
16．给出下面四个命题，其中正确命题的序号是 （填出所有正确命题的序号）．
① 若，则；
② 函数的值域为；
③ 数列一定为等比数列；
④ 两个非零向量，若，则．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在中，、、分别是角、、的对边，且、、，若，试判断三角形的形状．
18．（本小题满分12分）
某城市甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览3个景点的概率分别是0．4、0．5、0．6，且客人是否游览哪个景点互不影响．设表示客人离开该城市时游览过的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．
（1）求的分布列及数学期望；
（2）记“函数在区间上单调递增”为事件，求事件的
概率，
19．（本小题满分12分）
设数列满足：．
（1）令，求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．（本小题满分12分）
如图所示，已知正四棱柱的底面边长为1，点在棱上，平面，截面的面积为．
（1）求与底面所成角的大小；
（2）若与的交点为，点在上，且，求的长．
21．（本小题满分12分）
如图所示，已知椭圆的方程为，点的坐标满足．过点的直线椭圆交于、两点，点为线段的中点．求：
（1）点的轨迹方程；
（2）点的轨迹与坐标轴的交点的个数．
22．（本小题满分12分）
已知函数（为常数），直线与函数、的图象都相切，且与函数图象的切点的横坐标为1．
（1）求直线的方程及的值；
（2）若（注：是的导函数），求的单调递增区间；
（3）当时，试讨论方程的解的个数．
1．A 2．C 3．B 4，C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．B
11．B 12．D
1．，在复平面对应的点在第一象限．
3．当时，函数在上，恒成立即在上恒成立，可得
当时，函数在上，恒成立
即在上恒成立
可得，对于任意恒成立
所以，综上得．
4．解法一：联立，得．
方程总有解，需恒成立
即恒成立，得恒成立
；又
的取值范围为．
解法二：数形结合，因为直线恒过定点（0，1），欲直线与椭圆总有交点，当且仅当点（0，1）在椭圆上或椭圆内，即
又
的取值范围为．
5．
6．（略）
7．展开式前二项的系数满足可解得，或（舍去）．从而可知有理项为．
8．，欲使为奇函数，须使，观察可知，、不符合要求，若，则，其在上是减函数，故B正确
当时，，其在上是增函数，不符合要求．
9．等价于
画图可知，故．
10．如图甲所示．设，点到直线的距离为
则由抛物线定义得，由点在双曲线上，及双曲线第一定义得
，又由双曲线第二定义得，解之得．
11．由巳知中奖20元的概率；中奖2元的概率，中奖5元的概率，由上面知娱乐中心收费为1560元．付出元，收入元，估计该中心收入480元．
12．设中点为，连．由已知得平面，作，交的延长线于，莲．则为所求，设，则，在
中可求出，则．
二、
13．．提示：可以用换元法，原不等式为也可以用数形结合法．
令，在同一坐标系内分别画出这两个函数的图象，由图直观得解集．
14．12．提示：经判断，为截面圆的直径，再由巳知可求出球的半径为．
15．．提示：由于得
解得，又
所以，当时，取得最小值．
16．①②④
三、
17．懈：
，由正弦定理得，
又，
，化简得
为等边三角形．
说明；本题是向量和三角相结合的题目，既考查了向量的基本知识，又考查了三角的有关知识，三角形的形状既可由角确定。也可由边确定，因此既可从角入手，把边化为角；也可从边入手，把角化为边来判断三角形的形状．
18．解：（1）分别记“客人游览甲景点”、“客人游览乙景点”、 “客人游览丙景点”为事件、、．由已知、、相互独立，，客人游览的景点数的可能取值为0，1，2．3，相应地客人没有游览的景点的可能取值为3，2，1，0，的取值为1，3，且
的分布列为
1
3
0．76
0．24
．
（2）解法一：在上单凋递增，要使在上单调递增，
当且仅当，即．从而．
解法二：当时，在单调递增当时，在不单调递增，．
19．解：（1）因
故是公比为的等比数列，且
故．
（2）由得
注意到，可得，即
记数列的前项和为，则
两式相减得：
故
从而
．
20．解：（1）如图所示，连接因为平面，平面平面，平面平面所以；又为的中点，故为的中点
底面
为与底面所成的角
在中，
所以与底面所成的角为45°．
（2）解珐一；如图建立直角坐标系
则，
设点的坐标为
故
点的坐标为
故．
解法二：平面
，又
平面
在正方形中，
．
21．解：（1）设点、的坐标分别为、点的坐标为
当时，设直线的斜率为
直线过点
的方程为
又已知 ①
②
③
④
∴式①一式②得
⑤
③式+④式得
⑥
∴由式⑤、式⑥及
得点的坐标满足方程
⑦
当时，不存在，此时平行于轴，因此的中点一定落在轴上，即的坐标为,显然点(，0）满足方程⑦
综上所述，点的坐标满足方程
设方程⑦所表示的曲线为
则由,
得
因为，又已知，
所以当时．，曲线与椭圆有且只有一个交点，
当时，，曲线与椭圆没有交点，因为（0，0）在椭圆内，又在曲线上，所以曲线在椭圆内，故点的轨迹方程为
（2）由解得曲线与轴交于点（0，0），（0，）
由解得曲线与轴交于点（0，0）．（，0）
当，即点为原点时，（，0）、（0，）与（0．0）重合，曲线与坐标轴只有一个交点（0，0）．
当，且，即点不在椭圆外且在除去原点的轴上时，曲线与坐标轴有两个交点（0，）与（0，0），同理，当且时，曲线与坐标轴有两个交点（，0）、（0，0）．
当，且时，即点不在椭圆外，且不在坐标轴上时，曲线与坐标轴有三个交点（，0）、（0，）与（0，0）．
22．解：（1）由
故直线的斜率为1．切点为，即（1，0），故的方程为：，
∴直线与的图象相切．等价于方程组，只有一解，
即方程有两个相等实根．
．
（2），由
，，当时，是增函数。即
的单调递增区间为（，0）．
（3）由（1）知，，令
由
令，则
当变化时，的变化关系如下表：
（）
ㄊ
0
极大植ln2
（，0）
ㄋ
0
0
极小植
（0，1）
ㄊ
1
0
极大值ln2
（1，）
ㄋ
据此可知，当时，方程有三解
当，方程有四解
当或时，方程有两解
当时，方程无解．