江苏省南京市第十三中学2009届高三第三次模拟试卷    数 学 试 卷   2009.5

注意事项：

1．本试卷共160分，考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

参考公式：

一组数据的方差，其中为这组数据的平均数．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．已知集合M＝{y|y＝x2，x∈R}，N＝{y|y2≤2，y∈Z}，则M∩N＝   ▲   ．

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2．在复平面内，复数 对应的点与原点之间的距离是   ▲   ．

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3．已知命题p：函数y＝lgx2的定义域是R，命题q：函数y＝的值域是正实数集，给出命题：①p或q；②p且q；③非p；④非q．其中真命题有    ▲    个．

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4．已知数列{an}是等差数列，a4＝7，S9＝45，则过点P(2，a3)，Q(4，a6)的直线的斜率

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等于    ▲    ．

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5．右边的流程图最后输出的n的值是    ▲    ．

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6．若x，y满足约束条件

N

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7．已知正四棱锥的体积是48cm3，高为4cm，

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则该四棱锥的侧面积是    ▲    cm2．

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8．如图是2008年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，

七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个

最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为    ▲    ．

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9．当A，B∈{1，2，3}时，在构成的不同直线Ax－By＝0中，任取一条，其倾斜角小于45°的概率是    ▲    ．

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10．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(log2x)＜0的解集为   ▲    ．

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11．椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点F1，F2分别在双曲线－＝1的左、右准线上，

则椭圆的离心率e＝    ▲    ．

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12．函数y＝tan(x－)的部分图像如图所示,则(((OB－((OA)×((OB＝    ▲    ．

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13．在△ABC中，D为BC中点，ÐBAD＝45°，ÐCAD＝30°，AB＝，则AD＝    ▲    ．

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14．已知x，y都在区间(0，1]内，且xy＝，若关于x，y的方程＋－t＝0有两组不同的解(x，y)，则实数t的取值范围是    ▲    ．

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二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

已知0＜a＜＜b＜p，tan＝，cos(b－a)＝．（1）求sina的值；（2）求b的值．

 

 

 

 

 

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16．（本题满分14分）

在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1C1C为矩形，四边形BB1C1C为菱形．

AC∶AB∶CC1＝3∶5∶4，D，E分别为A1B1，CC1中点．

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求证：（1）DE∥平面AB1C；

（2）BC1^平面AB1C．

 

 

 

 

 

 

 

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17．（本题满分14分）

A地产汽油，B地需要汽油．运输工具沿直线AB从A地到B地运油，往返A，B一趟所需的油耗等于从A地运出总油量的．如果在线段AB之间的某地C（不与A，B重合）建一油库，则可选择C作为中转站，即可由这种运输工具先将油从A地运到C地，然后再由同样的运输工具将油从C地运到B地．设＝x，往返A，C一趟所需的油耗等于从A地运出总油量的．往返C，B一趟所需的油耗等于从C地运出总油量的．不计装卸中的损耗，定义：运油率P＝，设从A地直接运油到B地的运油率为P1，从A地经过C中转再运油到B地的运油率为P2．

（1）比较P1，P2的大小；

（2）当C地选在何处时，运油率P2最大？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．（本题满分16分）

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已知抛物线顶点在原点，准线方程为x＝－1．点P在抛物线上，以P圆心，P到抛物线焦点的距离为半径作圆，圆P存在内接矩形ABCD，满足AB＝2CD，直线AB的斜率为2．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）求直线AB在y轴上截距的最大值，并求此时圆P的方程．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19．（本题满分16分）

已知函数f(x)＝lnx＋，其中a为大于零的常数．

   （1）若函数f(x)在区间[1，＋∞)内不是单调函数，求a的取值范围；

（2）求函数f(x)在区间[e，e2]上的最小值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20．（本小题满分16分）

已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝an＋1－an，其中n∈N*．设数列{bn}满足bn＝an＋1－an，n∈N*．

（1）证明：数列{bn}为等比数列，并求数列{bn}的通项公式；

（2）求数列{an}的通项公式；

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（3）令cn＝，n∈N*，求证：c1＋c2＋…＋cn＜2．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

南京市第十三中学2009届高三年级第三次模拟考试

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        数 学 试 卷 答 卷 纸   2009.5

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一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在下列横线上）

1．                           　     2．                            

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3．                           　     4．                            

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5．                           　     6．                             

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7．                           　     8．_____________________________

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9．____________________________　    10．_____________________________

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11．___________________________      12．_____________________________

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13．____________________________     14．_____________________________

 

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二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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16．（本题满分14分）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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17．(本题满分14分)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18．（本题满分16分）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19．(本题满分16分)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20．(本题满分16分)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

南京市第十三中学2009届高三年级第三次模拟考试

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        数学附加卷   2009.5

注意事项：

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1．附加题供选修物理的考生使用．

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2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

试题详情

3．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

试题详情

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4―1：几何证明选讲

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圆的两弦AB、CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线AD交于P，再从P引这个圆的切线，切点是Q，求证：PF＝PQ．

 

 

 

B．选修4―2：矩阵与变换

已知矩阵M＝，N＝，求直线y＝2x＋1在矩阵MN的作用下变换所得到的直线方程．

 

 

 

C．选修4―4：坐标系与参数方程

已知⊙C：r＝cosq＋sinq，直线l：r＝．求⊙C上点到直线l距离的最小值．

 

 

D．选修4―5：不等式选讲

已知关于x的不等式ㄏx＋1ㄏ＋ㄏx－1ㄏ≤＋＋对任意正实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．

 

 

 

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

试题详情

22．2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮。现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：

福娃名称

贝贝

晶晶

欢欢

迎迎

妮妮

数量

1

2

3

1

1

从中随机地选取5只．

   （1）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；

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   （2）若完整地选取奥运会吉祥物记100分；若选出的5只中仅差一种记80分；差两种记60分；以此类推．设表示所得的分数，求的分布列和期望值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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23．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(an＋2，Sn＋1)在直线y＝4x－5上，其中n∈N*，令bn＝an＋1－2an，且a1＝1．

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）若f(x)＝b1x＋b2x2＋b3x3＋…＋bnxn，求f ¢(1)的表达式，并比较f ¢(1)与8n2－4n的大小．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

南京市第十三中学2009届高三年级第三次模拟考试

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        数 学 附 加 卷 答 卷 纸   2009.5

试题详情

A．选修4―1：几何证明选讲

 

 

 

 

 

B．选修4―2：矩阵与变换

 

 

 

 

C．选修4―4：坐标系与参数方程

 

 

 

 

 

 

D．选修4―5：不等式选讲

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

试题详情

22．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

试题详情

23．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

南京市第十三中学2009届高三年级第三次模拟考试

试题详情

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．{0，1}       2．1       3．2      4．－3       5．5      6．[2，5]    

7．60            8．4      9．   10．（，）     11．     12．4 

13．        14．(，]

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）

解：（1）tana＝＝，…………………………………………3分

所以＝，又因为sin2a＋cos2a＝1，

解得sina＝．………………………………………………………7分

（2）因为0＜a＜＜b＜p，所以0＜b－a＜p．

因为cos(b－a)＝，所以sin(b－a)＝．……………………9分

所以sinb＝sin[(b－a)＋a]

＝sin(b－a)cosa＋cos(b－a)sina＝×＋×＝，……12分

因为b∈(，p)，

所以b＝．………………………………………………………14分

 

16．（本题满分14分）

证明：（1）取AB1中点F，连结DF，CF．因为D为A1B1中点，

所以DF∥=AA1．

因为E为CC1中点，AA1∥=CC1，

所以CE∥=DF．

所以四边形CFDE为平行四边形．

所以DE∥CF．…………………………………………………4分

因为CFÌ平面ABC，DE(/平面ABC，

所以DE∥平面ABC．…………………………………………7分

（2） 因为AA1C1C为矩形，所以AC^CC1．

因为BB1C1C为菱形，所以CC1＝CB．B1C^BC1．…………8分

因为AC∶AB∶CC1＝3∶5∶4，

所以AC∶AB∶BC＝3∶5∶4，

所以AC2＋BC2＝AB2．……………………………………10分

所以AC^BC．

所以AC^平面BB1C1C．…………………………………12分

所以AC^BC1．

所以BC1^平面AB1C．……………………………………14分

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17．（本题满分14分）

解：（1）设从A地运出的油量为a，根据题设，直接运油到B地，往返油耗等于a，

所以B地收到的油量为(1－)a．

所以运油率P1＝＝．……………………………………3分

而从A地运出的油量为a时，C地收到的油量为(1－)a，

B地收到的油量(1－)(1－)a，

所以运油率P2＝

＝(1－)(1－)＝(＋)(1－)．…………………………7分

所以P2－P1＝x(1－x)，因为0＜x＜1，

所以P2－P1＞0，即P2＞P1．…………………………………………9分

（2）因为P2＝(＋)(1－)≤＝．

当且仅当＋＝1－，即x＝时，取“＝”．

所以当C地为AB中点时，运油率P2有最大值．……………………………………14分

18．（本题满分16分）

解：（1）因为抛物线顶点在原点，准线方程为x＝－1，

所以抛物线开口向右，且－＝－1，所以p＝2．

所以所求的抛物线方程为y2＝4x．…………………………………………4分

（2）设P(x0，y0)，则y02＝4x0，半径r＝PF＝x0＋1，

圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0＋1)2，……………………………6分

设AB的方程为y＝2x＋b，由AB＝2CD得，

圆心P到直线AB的距离2d＝，……………………………6分

所以5d2＝r2，即d＝r．

因为r＝|x0＋1|，d＝，

代入得ㄏ2x0－y0＋bㄏ＝ㄏx0＋1ㄏ．…………………………………8分

即2x0－y0＋b＝x0＋1或2x0－y0＋b＝－x0－1．

所以x0－y0＋b－1＝0或3x0－y0＋b＋1＝0．

因为y02＝4x0，所以x0＝y02，

代入得y02－y0＋(b－1)＝0或y02－y0＋(b＋1)＝0．……………………10分

方程y02－y0＋(b－1)＝0关于y0有解Û1－(b－1)≥0，b≤2．

方程y02－y0＋(b＋1)＝0．关于y0有解Û1－3(b＋1)≥0，b≤－．…12分

综上所述，b的最大值为2．……………………………………………14分

此时，y0＝2，x0＝1，r＝x0＋1＝2，

所以圆P的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝4．……………………………16分

19．（本题满分16分）

解： f ¢(x)＝(x＞0)  2分

   （1）由已知，得f ¢(x)在[1，＋∞)上有解，即a＝在(1，＋∞)上有解，

       又当x∈(1，＋∞)时，＜1，

所以a＜1．又a＞0，所以a的取值范围是(0，1)．………………………………6分

   （2）①当a≥时，

       因为f ¢(x)＞0在(e，e2)上恒成立，这时f(x)在[e，e2]上为增函数，

所以当x＝e时，f(x)min＝f(e)＝1＋  ……………………………………………… 8分

       ②当0＜a≤时，

因为f ¢(x)＜0在(e，e2)上恒成立，

这时f(x)在[e，e2]上为减函数，

所以，当x＝e2时，f(x)min＝f(e2)＝2－，…………………………………………10分

       ③当＜a＜时，令f¢(x)＝0得，x＝∈(e，e2)，

又因为对于x∈(e，)有f ¢(x)＜0，

对于x∈(，e2)有f ¢(x)＞0，

所以当x＝时，f(x)min＝f()＝ln＋1－．………………………………………14分

       综上，f(x)在[e，e2]上的最小值为

       f(x)min＝………………………………………16分

20．（本题满分16分）

解：（1）由条件得an＋2＝(2＋)an＋1－an，

所以an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，

即bn＋1＝2bn，又b1＝a2－a1＝2，所以bn≠0，

从而＝2对n∈N*成立，

所以数列{bn}是首项为b1＝2，公比q＝2的等比数列，

所以bn＝2n．…………………………………………………6分

（2）由（1）得an＋1―an＝2n．所以(n＋1)an＋1－nan＝(n＋1)×2n，………………8分

所以2a2－a1＝2×21，

3a3－2a2＝3×22，

4a4－3a3＝4×23，

…………，

nan－(n－1)an－1＝n×2n－1，

相加得nan－a1＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1，

所以2(nan－a1)＝     2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n．

两式相减得：－（nan－a1)＝2(21＋22＋…＋2n－1)－n×2n＝2n＋1－4－n×2n，所以

an＝2n－＝．…………………………………………………………11分

（3）因为cn＝＝＝4[－]，…………13分

所以Sn＝c1＋c2＋…＋cn

＝4[－＋－＋－＋…＋－]

＝4[－]＝2－＜2．…………………………………………………16分

 

南京市第十三中学2009届高三年级第三次模拟考试

        数学附加卷答案   2009.5

1．（几何证明选讲）（本题满分10分）

证明：证明：因为A，B，C，D四点共圆，所以ÐADF＝ÐABC．

因为PF∥BC，所以ÐAFP＝ÐABC．所以ÐAFP＝ÐFQP．

因为ÐAPF＝ÐFPA，所以△APF∽△FPQ．所以＝．………………5分

所以PF2＝PA×PD．因为PQ与圆相切，所以PQ2＝PA×PD．

所以PF2＝PQ2．所以PF＝PQ．……………………………………………10分

 

2．（矩阵与变换）（本题满分10分）

解：∵MN＝ ＝，

设直线y＝2x＋1上一点(x0，y0)在MN作用下变为(x¢，y¢)，则

＝， 即＝，即

从而可得……………………………………5分

∵y0＝2x0＋1，代入得y¢＝2(x¢－y¢)＋1，

化简得2x¢－y¢＋1＝0，即6x¢－5y¢＋3＝0．

即变换后的直线方程是6x－5y＋3＝0．…………………………10分

 

3．（坐标系与参数方程）（本题满分10分）

解：⊙O的直角坐标方程是x2＋y2－x－y＝0，

即(x－)2＋(y－)2＝．………………………………………………3分

直线l的极坐标方程为r(cosq－sinq)＝4，

直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0．………………………………6分

设M(＋cosq，＋sinq)为⊙C上任意一点，M点到直线l的距离

d＝＝，

当q＝时，dmin＝．…………………………………………………10分

 

4．（不等式选讲）（本题满分10分）

解：因为＋＋≥3＝3，………………………………………4分

所以ㄏx＋1ㄏ＋ㄏx－1ㄏ≤3，

x∈[－，]．…………………………………………………………10分

 

5．（本题满分10分）

解：解：（1）选取的5只恰好组成完整“奥运会吉祥物”的概率

       ………………………………………………3分

   （2）ξ的取值为100，80，60，40.…………………………………4分

      

       ……………………………………………………8分

ξ的分布列为

ξ

100

80

60

40

       ……………………………………………………………………………………9分

Eξ=…………………………………………10分

 

6．（本题满分10分）

解：（1）∵，∴.

∴（）.

∴（）.

∴（）.

∴（）.

∴数列为等比数列，其公比为，首项，

而，且，∴.

∴.  

∴.…………………………………………………………4分．

   （2）∵，

     ∴  .

∴.

∴，        ①

∴2.       ②

①-②得 -，

             

              ，

∴.…………………………………………………6分．

∴（）==.

当时，=；

当时，-（）=4（4-5）=-4，；

当时，，

且，

∴时，总有.…………………………………………………10分．

∴时，总有．

 

 

 

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