上海市杨浦区2008学年度第二学期高三学科测试
数学理科试卷 2009.4
（满分150分，考试时间120分钟）
考生注意：
本试卷包括试题纸和答题纸两部分．在本试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，每题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果．
1．直线
的倾斜角为 ．
2．已知全集
，集合
，
，
则
= ．
3．若复数
满足
(其中
是虚数单位)，则
= ．
4．二项式
展开式中
系数的值是 ．
5．市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为2元，中奖
概率为6.71%，一注彩票的平均奖金额为14.9元．如果小王购
买了10注彩票，那么他的期望收益是 元．
6．把
化为积的形式，其结果为 ．
7．已知
是椭圆
上的一个动点，则
的最大值是 ．
8．已知
（
），则
的值是 ．
9．如图是输出某个数列前10项的框图，则该数列第3项
的值是 ．
10. 在极坐标系中,过圆
的圆心,且垂直于极轴的
直线的极坐标方程是 ．
11．如图，用一平面去截球所得截面的面积为
cm2，已知
球心到该截面的距离为
12．在△
中，
，
，
是
边的中点，则
的值
是 .
二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题4分．每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置．
13．线性方程组
的增广矩阵是………………………………………………（ ）．
A．
B．
C． 
D．
14．在直角坐标系
中，已知△
的顶点
和
，顶点
在椭圆
上，则
的值是…………………………………………………………………（ ）．
A．
B．
C．2 D．4
15. 以
依次表示方程
的根，则
的大小顺
序为…………………………………………………………………………………………（ ）．
A．
B．
C．
D．
16．已知数列
，对于任意的正整数
，
，设
表示数列
的前项和．下列关于
的结论，正确的是……………………………………（ ）．
A．
B．
C．
（
） D．以上结论都不对
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域写出必要的步骤.
17．(本题满分12分)
动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的长方形熊猫居室（如图所
示）．如果可供建造围墙的材料长是为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？
18. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.
在长方体
中，
，
，
．求：
（1）顶点
到平面
的距离；
（2）二面角
的大小．（结果用反三角函数值表示）
 |
19．(本题满分15分) 本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分4分，
第3小题满分8分.
设数列的前
和为
，已知
，
，
，
，
一般地，
（）．
（1）求
；
（2）求
；
（3）求和：
．
20．(本题满分15分) 本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分10分.
已知
为实数，函数
，
（
）．
（1）若
，试求的取值范围；
（2）若
，求函数
的最小值．
21．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，
第3小题满分7分.
已知
是抛物线
上的相异两点．
（1）设过点
且斜率为-1的直线
，与过点
且斜率1的直线
相交于点P(4，4)，求直线AB的斜率；
（2）问题（1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线G，过该圆锥曲线上的
相异两点A、B所作的两条直线
相交于圆锥曲线G上一点；结论是关于直线AB的斜率的值．请你对问题（1）作适当推广，并给予解答；
（3）线段AB（不平行于
轴）的垂直平分线与
轴相交于点
．若
，试用线段AB中点的纵坐标表示线段AB的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．
上海市杨浦区2008学年度第二学期高三学科测试
说明
1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.
2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.
3. 第17题至第21题中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.
4. 给分或扣分均以1分为单位.
答案及评分标准
1．
；
2．
； 3．
；
4．
； 5．（理）
元；（文）0.7；
6．（理）
； （文）200赫兹； 7．（理）5； （文）p=4．
8．（理）
； （文）
9．
； 10．（理）
； （文）方程为
．
11．（理）
； （文）
； 12．12．
13――16：A； C ； C； 理B文A
17．设熊猫居室的总面积为
平方米，由题意得：
．… 6分
解法1：
，因为
，而当
时，取得最大值75． 10分
所以当熊猫居室的宽为
解法2：
=75，当且仅当
，即时，取得最大值75．
…… 10分
所以当熊猫居室的宽为
18．理：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为
、
、
、
、
、
．
……2分
设平面
的法向量为
，则
，
．
因为
，
，
……3分
，
，
所以
解得
，取
，得平面一个法向量
，且
．
……5分
（1）在平面取一点
，可得
，于是顶点
到平面的距离
，所以顶点到平面的距离为
，
……8分
（2）因为平面
的一个法向量为
，设
与
的夹角为a，则
，
……12分
结合图形可判断得二面角
是一个锐角，它的大小为
．……14分
文：（1）圆锥底面积为
cm2，
……1分
设圆锥高为
cm，由体积
，
……5分
由
cm3得
cm；
……8分
（2）母线长
cm，
……9分
设底面周长为
，则该圆锥的侧面积=
，
……12分
所以该圆锥的侧面积=
cm2．
……14分
19．（理）（1）
；
……3分
（2）当
时，（
）
，
……6分
所以，
（
）．
……8分
（3）与（2）同理可求得：
，
……10分
设
=
，
则
，（用等比数列前n项和公式的推导方法）
，相减得
，所以
．
……14分
（文）（1）设数列前
项和为
，则
． ……3分
（2）公比
，所以由无穷等比数列各项的和公式得：
数列
各项的和为
=1．
……7分
（3）设数列
的前项和为，当为奇数时，
=
；
……11分
当为偶数时，
=
． ……14分
即
．
……15分
20．（1）
即
，又
，2分
所以
，从而
的取值范围是
．
……5分
（2）
，令
，则
，因为
，所以
，当且仅当
时，等号成立，8分
由
解得
，所以当
时，函数
的最小值是
；
……11分
下面求当
时，函数的最小值．
当时，
，函数
在
上为减函数．所以函数的最小值为
．
[当时，函数在上为减函数的证明：任取
，
，因为
，
，所以
，
，由单调性的定义函数在上为减函数．]
于是，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值
．
……15分
21．（1）由
解得
；由
解得
．
由点斜式写出两条直线
的方程，
，
所以直线AB的斜率为
． ……4分
（2）推广的评分要求分三层
一层:点P到一般或斜率到一般,或抛物线到一般（3分，问题1分、解答2分）
例：1．已知
是抛物线
上的相异两点．设过点且斜率为-1的直线
，与过点
且斜率为1的直线
相交于抛物线上的一定点P
，求直线AB的斜率；
2．已知是抛物线上的相异两点．设过点且斜率为-k 1的直线，与过点且斜率为k的直线相交于抛物线上的一点P（4，4），求直线AB的斜率；
3．已知是抛物线
上的相异两点．设过点且斜率为-1的直线，与过点且斜率为1的直线相交于抛物线上的一定点P
，求直线AB的斜率； AB的斜率的值．
二层:两个一般或推广到其它曲线（4分，问题与解答各占2分）
例：4．已知点R是抛物线上的定点．过点P作斜率分别为
、
的两条直线，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．
三层:满分（对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）（7分，问题3分、解答4分）
例如：5.已知抛物线
上有一定点P，过点P作斜率分别为、的两条直线，分别交抛物线于A、B两点，试计算直线AB的斜率．
过点P（
），斜率互为相反数的直线可设为
，，其中
。
由
得
，所以
同理，把上式中换成得
，所以
当P为原点时直线AB的斜率不存在，当P不为原点时直线AB的斜率为
。
（3）（理）点
，设
，则
．
设线段
的中点是
，斜率为，则
=
．12分
所以线段的垂直平分线
的方程为
，
又点
在直线上，所以
，而
，于是
．
……13分
(斜率
，则
--------------------------------13分)
线段所在直线的方程为
，
……14分
代入，整理得
……15分
，
。设线段长为，则
=
……16分
因为
，所以
……18分
即：
．（
）
（文）设 违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com，则