江苏省扬州中学2009届高三5月模拟考试
数学试卷
2009、5
一、填空题：
1．不等式
的解集是________.
2. 已知：
为第四象限角，且
，则
=________.
3. 已知：A=
，B=
，则A∩B=_________.
4. 直线
在两坐标轴上的截距之和为2，则实数
的值是_____.
5. 在等比数列
中，
，
，则
________.
6. 对于函数
图象上任意两点
,
，直线段AB必在曲线段AB的上方，则由图象的特征可得不等式
.请分析
的图象特征，类比上述不等式可以得到 .
7. 若AD为△ABC的角平分线，满足AD=AB=2，
，则CD=_________.
8. 已知平面上不同的四点A、B、C、D，若
，
则△ABC是_________三角形.
9. 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把
名使用血清的人与另外名未用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设
：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用
列联表计算得
，经查对临界值表知
．
对此，四名同学做出了以下的判断：
p：有
的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
q：若某人未使用该血清，那么他在一年中有的可能性得感冒
r：这种血清预防感冒的有效率为
s：这种血清预防感冒的有效率为
则下列结论中，正确结论的序号是 ．（把你认为正确的命题序号都填上）
（1） p∧?q ； （2）?p∧q ；
(3)（?p∧?q）∧（r∨s）； （4）(p∨?r)∧(?q∨s)
10. 椭圆
的左右焦点分别为F1 ?F2，在椭圆上存在点P，满足
。则此椭圆的离心率e的取值范围是
．
11. 设
，把
的图象向右单位平移m（m>0）个单位后，图象恰好为函数
的图象，则m的最小值为________.
12. 已知函数
存在最小值，则实数
的取值范围是
．
13. 设x，y均为正实数，且
，则xy的最小值为________.
14. 已知
可以表示成一个奇函数
与一个偶函数
之和，若关于
的不等式
对于
恒成立，则实数的最小值是
．
二、解答题：
15. A袋中有1张10元和1张5元的钱币，B袋中有2张10元和1张5元的钱币，从A袋中任取一张钱币与B袋任取一张钱币互换，这样的互换进行了一次后：
求（1）A袋中10元钱币恰是一张的概率；
（2）A袋中10元钱币至少是一张的概率.
16. 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是
、边长为 的菱形，又
，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN//平面PMB；
（2）证明：平面PMB
平面PAD；
（3）求点A到平面PMB的距离．
17. 已知
的面积为
，且满足
，设
和
的夹角为
．
(1)求的取值范围；
(2)求函数
的最大值与最小值．
18. 已知直线l1：x＋my－m－2＝0与x轴交于点A，直线l2：mx－y
(1)求证：A，M，B，O四点共圆，并写出圆的方程；
(2)当AB与OM垂直于点P时，求证：点P与四边形AMBO其中一边中点的连线与对边垂直.
19. 设n为给定的正整数，记An={x|2n<x<2n+1,且x=
（1）当n为奇数时，求An中的最大数和最小数；
（2）求An中所有元素之和.
20. 已知二次函数的二次项系数为，且不等式
的解集为
.
（1）若函数
在区间
内单调递减，求的取值范围；
（2）当
时，证明方程
仅有一个实数根.
（3）当x∈［0,1］时，试讨论|
|≤3成立的充要条件.
命题、校对：唐一良、张福俭
江苏省扬州中学2009届高三5月模拟考试
附加题
选修4-1――4-4（其中1、2、3、4题任选2题解答；5、6为必做题）
1.如图,AB为半圆直径,D为AB上一点,分别在半圆上取点E、F,使EA＝DA,FB＝DB.过D作AB的垂线,交半圆于C.求证：CD平分EF.
2．自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等.因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系.但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾.现假设两个互相影响的种群X，Y随时间段变化的数量分别为{an}，{bn}，并有关系式，其中a1＝1，b1＝1，试分析20个时段后这两个种群的数量变化趋势.
3．过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F任作一弦AB=4p，建立适当的极坐标系，求OA的极角.(O为极点)
4．已知
为正整数，用数学归纳法证明：当
时，
；
5．抛一枚均匀的骰子（骰子的六面分别有数字1、2、3、4、5、6）来构造数列
（1）求
的概率； （2）若
的概率.
6. 2条直线将一个平面最多分成4部分，3条直线将一个平面最多分成7部分，4条直线将一个平面最多分成11部分，
；4＝
，7＝
，11＝
；.
(1)
条直线将一个平面最多分成多少个部分(
)?证明你的结论；
(2)个平面最多将空间分割成多少个部分(
)?证明你的结论.
命题、校对：唐一良、张福俭
江苏省扬州中学2009届高三5月模拟考试
1．
2．
3．{(1，-1)}
4．12 5． 
6．
7．
8．直角
9．解析：（1）（4）．本题考查了独立性检验的基本思想及常用逻辑用语．由题意，得
，
，所以，只有第一位同学的判断正确，即：有
的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”．由真值表知（1）（4）为真命题．
10．提示：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线分别为 m、n, 直线 m、n 确定了一个平面 β．作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样的平面 α 有无数多个．
11．
12．y=-x ±
13．解：由
可化为xy =8+x+y
x，y均为正实数，
xy =8+x+y
（当且仅当x=y等号成立）
即xy-2
-8
可解得
，即xy
16故xy的最小值为16.
14．
15．解：（1）A中2张钱币取1张，有2种情况，
B中3张钱币取1张，有3种情况，
∴互换一次有2´3 = 6种情况，
其中10元币恰是一张的情况有3种，
∴A袋中10元钱币恰是一张的概率为P1 =
.答略
（2）A袋中恰有一张10元币的概率为P1 = ；
A袋中恰有两张10元币的概率为P2 = 
；
∴ A袋中10元钱币至少是一张的概率P = P1 + P2
= +
= 
.
另解：. A袋中恰有0张10元币的概率为P0
= 
，
∴A袋中10元钱币至少是一张的概率P = 1 ? P0 = .答略.
16．解：
（1）证明：取PB中点Q，连结MQ、NQ，因为M、N分别是棱AD、PC中点，所以
QN//BC//MD，且QN=MD，于是DN//MQ.
.
（2）
又因为底面ABCD是
、边长为
的菱形，且M为AD中点，
所以
.
又
所以
.
（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离.
过点D作
于H，由（2）平面PMB
平面PAD，所以
.
故DH是点D到平面PMB的距离.
所以点A到平面PMB的距离为
.
17．解：(1)设
中角
的对边分别为
，则由
，
可得
，所以
(2)
因为，
，所以
即当
时，
；当
时，
18．解：（1）直线l1: x＋my－m－2＝0与l2: mx－yOB，所以A，M，B，O四点共圆，且AB即圆的直径，又A（m+2，0），B （0，1
整理得：
（2）当AB与OM垂直于点P时，由垂径定理得点P为OM中点（1，
），不妨取OA中点Q（
，0），又m
，否则AM垂直x轴，四边形AMBO为矩形，AB与OM不垂直，所以
，
，
，
得证.
19．解：（1）当n为奇数时，有2n+1=（2+1）（2n-1-2n-2+…-2+1）=3（2n-1-2n-2+…-2+1）
所以2n+1是最小的数；又2n+1-1=（2n+1+2）-3=2（2n+1）-3，所以2n+1-1是最大的数.
（2）由（1）知当n为奇数时，An中的各个元素组成以2n+1为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1-1=2n+1+3(m-1)，所以m=
，所以当n是奇数时，An中的所有元素之和为
；
当n为偶数时，n-1时奇数，由（1）可知2n-1+1是3的倍数，因此2n+2=2（2n-1+1）是3的倍数；同理，2n+1-2=2（2n-1）是3的倍数.所以当n为偶数时，An中的各个元素组成以2n+2为首项，3为公差的等差数列，设项数为m，则2n+1-2=2n+2+3(m-1)，所以m=
，所以当n是偶数时，An中的所有元素之和为
.
20．解：（1）
，∴可设
，
因而
①
=
，
∵
在区间
内单调递减，
∴
在上的函数值非正，
由于
，对称轴
，故只需
，注意到，∴
，得
或
（舍去）.
故所求的取值范围是
.
（2）
时，方程
仅有一个实数根，即证方程
仅有一个实数根.令
，由
，得
，
，易知
在
，
上递增，在
上递减，的极大值
，故函数的图像与
轴仅有一个交点，∴时，方程仅有一个实数根，得证.
（3）设 
= x2+x+1,
=1，对称轴为
，.
由题意,得
或
解出
，故使|
|≤3成立的充要条件是
附加题：
1．证明：如图,分别过点E、F作AB的垂线,G、H为垂足,连FA、EB.易知
DB2＝FB2＝AB?HB,
AD2＝AE2＝AG?AB.
二式相减,得
DB2－AD2＝AB?(HB－AG),
或 (DB－AD)?AB＝AB?(HB－AG).
于是,DB－AD＝HB－AG,
或 DB－HB＝AD－AG.
就是DH＝GD.
显然,EG∥CD∥FH.
故CD平分EF.2.
2．解：由上题可知
1 =
,2
=
是矩阵M=
分别对应特征值
1=1，2=4的两个特征向量，而1与2不共线.又==3+（－2）
∴M20=
M20(32+（－2）1)=2+(－2) M201
=32202+（－2）×1201=3×420×+(-2)×120×
=
≈
答：20个时段后这两个种群的数量都趋向于3×420.
3．证明：以F为极点，极轴与x轴正向重合建立极坐标系．
设抛物线方程
，A（ρ1，θ），B（ρ2，θ＋π），
则AB＝ρ1＋ρ2＝ = 4p，sin2θ=，θ=
4．（Ⅰ）证明：（?）当
时，原不等式成立；当
时，左边
，右边
，因为
，所以左边
右边，原不等式成立；
（?）假设当
时，不等式成立，即
，则当
时，
，
，于是在不等式两边同乘以
得
，
所以
．即当时，不等式也成立．
综合（?）（?）知，对一切正整数
，不等式都成立．
5．（1）设事件
为A,则在7次抛骰子中出现5次奇数，2次偶数
而抛骰子出现的奇数和偶数的概率为p是相等的，且为
根据独立重复试验概率公式：
（2）若
即前2次抛骰子中都是奇数或都是偶数.
若前2次都是奇数，则必须在后5次中抛出3次奇数2次偶数，
其概率：
若前2次都是偶数，则必须在后5次中抛出5次奇数，其概率：
所求事件的概率
6．以下解答仅供参考，按学生实际解答给分.
解：(1)
条直线将一个平面最多分成
个部分(
),与（2）合并证明；
(2)个平面最多将空间分割成
个部分(
).
证明：设个
维空间可将
维空间最多分成
个部分，则只需证明
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，这里∈