山东省寿光市2009年高考适应性训练试题
高三数学(理科)
2009.5
本试卷共4页,分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
注意事项:
答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 复数(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合M={-1, 0, 1},N={x|x=ab, a, b∈M且a≠b},则集合M与集合N的关系是()
A. M=N B. MN C. M N D. MN=
3.命题p:不等式|x|+|x+1|>a的解集为R,命题q:f(x)=-(7
A. (1, 2) B. [1, 2) C. (-∞, 1) D. (-∞, 2)
4. 已知某几何体的三视图如右图所示,它的表面积是( )
A. 4+ B. 2+
C. 3+ D. 6
5. 已知f5′(x)是函数f (x)的函导数,在区间[a, b]上f ′(x)的图象如右图所示,如果f (a) f (b)<0,则函数f (x)在区间(a, b)上( )
A. 至少有一个零点 B. 至多有一个零点
C. 没有零点 D. 必有唯一的零点
6.设α,β,γ是三个不重合的平面,m, n是两条不重合的直线,给出下列命题:①若α⊥β,β⊥γ,则α⊥γ;②若m∥α, n∥β, α⊥β,则m⊥n;③若α∥β,γ∥β,则α∥γ;④若α∥β且m与α,n与β所成的角相等,则m∥n。其中错误命题的个数为( )
A. 0 B.
7.函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-2x+15,如图,
则f(5)+ f ′(5)=( )
A.1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 若数列{an}的前n项由如图所示的程序框图中输出
的a的值依次给出,则数列{an}的通项公式an=( )
A. B. n C. n-1 D.
9. 抛物线y=ax2的焦点恰好为双曲线y2-x2=2的上焦点,则a=( )
A. B. C. D. 1
10. 若a1=, a2=, an?an+2=1(n∈N*),则a2008+a2009等于( )
A. B. C.7 D. 2
11. 已知f (x)为偶函数,且f (2+x)=f (2-x),当-2≤x≤0时,f (x)=2x, an=f (n), n∈N*,则a2009=( )
A. 2009 B. 2 C. D. -2
12. 在区间[1,4]内取数a,在区别[0,3]内取数b,使函数f (x)=ax2+2x+b有两个相异零点的概率是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
注意事项:
1.第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题.
2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上.
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.
13.在(x4+)10的展开式中,常数项是 (用具体数字作答)
14.某人练习打靶,一共打了8枪,中了3枪,其中恰有2发连中,则中靶方一共有 种。
15. 现有一个关于平面图形的命题:如图,同一平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积为. 类比到空间,有两个棱长均为a的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .
16. 定义一种运算 =a1a4-a2a3. 将函数f (x)= 的图象向左平移n(n>0)个单位,所得图象对应的函数为偶函数,则n的最小值为 .
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知点A (2,0), B (0,2), C (cos, sin).
(1)若;
(2)若f ()=
18.(本小题满分12分)
在一次抗洪抢险中,准备用射击的方法引爆从上游漂流而下的一巨大汽油罐。已知只有5发子弹,且首次命中只能使汽油流出,再次命中才能引爆成功,每次射击命中概率都是,且每次命中与否互相独立.
(1)求油罐被引爆的概率;
(2)如果油罐引爆或子弹打光则停止射击,设射击次数为ξ,求ξ的分布列及ξ的数学期望。
如图,四棱锥P―ABCD中,PA⊥底面ABCD,PC⊥AD。底面ABCD为梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,点E在棱PB上,且PE=2EB.
(1)求证:平面PAB⊥平面PCB;
(2)求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值。
20.(本小题满分12分)
已知数列{an}满足an+1=2an+n+1(n=1,2,3,……).
(1)若a1=-1,求证数列{an+n+2}为等比数列,并求{an}的前n项和Sn.
(2)求证{an}不可能是等比数列;
21.(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,在直线x=(a、c分别为椭圆的长半轴和半焦距的长)上的点P(2, ),满足线段PF1的中垂线过点F2,直线l:y=kx+m为动直线,且直线l与椭圆C交于不同的两点A、B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若在椭圆C上存在点Q,满足(O为坐标原点),求实数λ的取值范围.
22.(本小题满分14分)
设函数f(x)=(1+x)2-ln(1+x)2.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当x∈[]时,不等式f (x)<m恒成立,求实数m的取值范围;
(3)已知g(x)=x2+x+a,若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在0≤x≤2时恰有两个相异的交点,求实数a的取值范围.
寿光市2009年高考适应性训练试题
一、选择题: CCBCD DCDBB C A
二、填空题: 13. 45 14. 30 15. 16.
三、解答题:17.解: (1) ………1分
,化简得 …3分
(2))
令Z),函数f(α)的对称轴方程为Z).……12分
18.解:(1)油罐没被引爆分两种情形:
①5发子弹只有1发击中,其概率为:
②5发子弹全没有击中,其概率为
(2)的可能取值为2,3,4,5.
∴的分布列为:
2
3
4
5
P
的数学期望为:E=2×+3×+4×+5×=.……………………12分
19. (1)证明:∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AD.又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB.……(3分) 又BC平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.……5分
(2)解:过A作AF∥BC,交CD于F,以A为原点,AF,AB,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
设PA=AB=BC=a,则A(0,0,0), B(0,a,0),C(a,a,0), P(0,0,a), E(0,
.……………………………………8分
设n1=(x,y,1)为平面AEC的一个法向量, 则n1⊥,n1⊥,
∴解得x=, y=-,∴n1=(,-,1).
设n2=(x′,y′,1)为平面PBC的一个法向量,同理可得n2=(0,1,1).…………11分
cos<n1,n2>==∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为.…12分
20. 解:(1)由an+1=2an+n+1可得an+1+(n+1)+2=2(an+n+2),
所以数列{an+n+2}是一个公比为2的等比数列,其首项为a1+1+2=-1+1+2=2,
于是an+n+2=2?2n-1=2n.…………(10分) 故an=2n-n-2.
{an}的前n项和Sn=……6分
(2)证明:假设{an}是等比数列,设其首项为a1,
则a2=2a1+2, a3=2a2+3=4a1+7,………(8分)于是有(2a1+2)2=a1(4a1+7),解得:a1=-4,于是公比,这时a4=a1q3=(-4)×()3=-.…………………10分
但是由题中所给递推公式,a4=2a3+4=8a1+18=-14,二者矛盾,所以{an}不可能是等比数列.………………12分
21.解:(1)设椭圆C的方程为半焦距为c,依题意有
|PF|=|F1F2|=2c
∴ 解得,∴b=1. ∴所求椭圆方程为…4分
(2)由得.
设点A、B的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2,y2),……………………6分
.
①当m=0时,点A、B关于原点对称,则λ=0.②当m≠0时,点A、B不关于原点对称,则λ≠0.
∵点Q在椭圆上,∴有……………8分
化简得4m2(1+2k2)= ∵
∵直线与椭圆交于不同的两点,△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=8(2k2+1-m2) ∴ (1+2k2-m2)>0,
1+2k2>m2.(**)…(10分)由(*)(**)可得4m2>.∵m≠0, ∴
综上,实数的取值范围是(-2,2).………………………………………12分
22.解:(1)函数f(x)的定义域为:(-∞, -1)∪(-1, +∞),……………………1分
∵…………………………………2分
令令得x<-2或-1<x<0.
则函数f(x)的递增区间是(-2,-1), (0, +∞),递减区间是(-∞, -2), (-1, 0).………4分
(2)由(1)知,f(x)在[上递减,在[0,e-1]上递增,又
,故m> e2-2时,不等式恒成立.……8分
(3)依题意,原命题等价于方程x-a+1-ln(1+x)2=0在x∈[0, 2]上有两个相异的实根,……9分
记h(x)=x-a+1-ln(1+x)2, 则h′(x)=1-令h′(x)>0,得x<-1或x>1,令h′(x)<0,得-1<x<1.
∴h(x)在[0, 1)上递减,在(1,2]上递增.………………10分
为使h(x)在[0,2]上恰好有两个相异的实根,只须h(x)=0在[0,1)和(1,2]上各有一个实根,于是有即a的取值范围是(2-ln2, 3-ln3].…………14分