南海中学2008届高三理科数学综合训练（四）
1、已知函数
，若
，则
与
的大小关系是 （ ）
A．
B．
C．
D．与
和
有关
2、已知不等式
，若对任意
及
，该不等式恒成立，则实数的范围是（ ）
A 
B
C
D
3、如图，设P为△ABC内一点，且
，则△ABP的面积与△ABC的面积之比为 （ ）
A．
B．
C．
D．
4、已知A，B，C是平面上不共线上三点，O为
外心，动点P满足
,则P的轨迹定过的 ( )
A 内心 B 垂心 C 重心 D AB边的中点
5、对任意实数
，定义运算
，其中
为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算.现已知
且有一个非零实数
使得对任意实数
，都有
，则＝ _____.
6、如图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量
围绕着点
旋转了
角，其中为小正六边形的中心，则
。
7、代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以
8、在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为、
、
．其中
，且
．
（1）求角B的大小；
（2）求+的取值范围．
9、已知函数
，且函数
与
的
图像关于直线
对称，又
，
。
1）求的表达式及值域;
2）问是否存在实数m ， 使得命题 
和
满足复合命题 
且
为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.
10、已知
，P1（x1,y1）、P2(x2,y2)是函数
图象上两点，且线段P1P2中点P的横坐标是
。
（1）求证：点P的纵坐标是定值；
（2）若数列
的通项公式是
…m)，求数列的前m项和Sm ；
（3）在（2）的条件下，若
时，不等式
恒成立，求实数a的取值范围。
11、已知函数
（1）求
在[0，1]上的极值；
（2）若对任意
成立，求实数的取值范围；
（3）若关于的方程
在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数的取值范围.
12、已知函数
和点
，过点
作曲线的两条切线
、
，切点分别为
、
．
（1）
，求直线、的方程。
(2)设
，试求函数
的表达式；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数
，在区间
内总存在
个实数
，
，使得不等式
成立，求的最大值．
1－4 ABCD ， 5、4 ， 6、－１
7、2.5小时 【解题思路】：设台风中心开始时的位置为P，移动后(A码头受到台风影响时或影响结束时)的位置为Q，记
，由题意得，
，解得
或
，则A码头从受到台风影响到影响结束时台风中心移动的距离为
8、 解：(1)由得
可知
，否则有，
，
，互相矛盾．
∴ 
，即
而
，所以
． ∴ B=
．
（2）由正弦定理有，
，∴ 
， 
，
∴
∵ 
， ∴ 
， 于是
，
则+的取值范围是
．
9、解 1）由，可得
，故
，
由于
在
上递减，所以的值域为
（2）
在上递减，故真
且
；
又
即
，故真
，
故存在
满足复合命题 且为真命题。
10、解：（1）由
知，x1+x2=1，则
故点P的纵坐标是
，为定值。
（2）已知
…+
…
又
…
…
二式相加，得
…
因为
…m-1)，故
，
又
，从而
。
（3）由
得
…①对恒成立。显然，a≠0，
（?）当a<0时，由
得
。而当m为偶数时不成立，所以a<0不合题意；
（?）当a>0时，因为
，则由式①得，
又
随m的增大而减小，所以，当m=1时，
有最大值
，故
。
11、解：（1）
，令
（舍去）
单调递增；当
单调递减.
上的极大值，没有极小值。
（2）由
得
……①
设
，
，
依题意知
上恒成立，
，
，
上单增，要使不等式①成立，
当且仅当
（3）由
令
，
当
上递增；
当
上递减 。
而
，
恰有两个不同实根等价于
12、解：（1）设切点横坐标为
，
，
切线的方程为：
，又切线过点
，
有
，即
， 解得
切线、的方程为：
（2）设、两点的横坐标分别为
、
，
， 切线的方程为：
，
切线过点， 有
，
即
，………① 同理，由切线也过点，
得
．………②，由①、②，可得
是方程
的两根，
………………………………………………………（ * ） 
，把（ * ）式代入,得
,
因此，函数的表达式为
．
（3）解法
：易知在区间
上为增函数，
，
则
．
依题意，不等式
对一切的正整数恒成立， 
，
即
对一切的正整数恒成立，．
， 
，
．由于为正整数，
．
又当
时，存在
，
，对所有的满足条件。
因此，的最大值为
．
解法
：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值．
，长度最小的区间为
，
当
时，与解法相同分析，得
，
解得
．
后面解题步骤与解法相同（略）．