江苏省通州市2009年高三查漏补缺专项检测

数学试卷

(考试时间:120分钟    满分160分)

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.

1.函数的定义域为           .

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2.已知复数均为纯虚数,则等于               

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3.已知向量,向量满足,且,则=               

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4.在等比数列{an}中,已知a4+a10=10,且,则=          

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5.已知命题:“,使x2+2x+a≥0”为真命题,则a的取值

范围是              

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6.如图,程序执行后输出的结果为             .   

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7.下列命题正确的序号是_____       

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(其中lm表示直线,表示平面) 

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(1)若;      (2)若

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(3)若;             (4)若

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8. 用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如右图所示,

则它的体积的最大值与最小值之差为        

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9.已知,则当mn取得最小值时,椭圆的离心率为                

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10.对任意两个集合A、B,定义:,设,则                 

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11.若,且当时,恒有,则以,b为坐标点 所形成的平面区域的面积等于                 

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12.已知两个不共线的向量的夹角为,且.若点M在直线OB上,且的最小值为,则的值为           

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13.设函数,若时,恒成立,则实数的取值范围是           _                .

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14.fx)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足,对任意正数ab,若ab,则的大小关系为                

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二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.(本题满分14分)在ABC中,角ABC的对边分别为abc,若

   (1)判断ABC的形状;

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   (2)若的值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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16.(本题满分14分)一个四棱锥的三视图和直观图如图所示,E为侧棱PD的中点.

(1)求证:PB//平面AEC;  

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(2)若F为侧棱PA上的一点,且, 则为何值时,PA平面BDF? 并求此时几何体F―BDC的体积.

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B

B

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17.(本题满分15分)已知圆A:轴负半轴交于B点,过B的弦BE与轴正半轴交于D点,且2BD=DE,曲线C是以A,B为焦点且过D点的椭圆.

(1)求椭圆的方程;

(2)点P在椭圆C上运动,点Q在圆A上运动,求PQ+PD的最大值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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18.(本题满分15分)

如图所示,一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车,其平板面为矩形ABEF,它的宽为1米。直线EF分别交直线AC、BC于M、N,过墙角D作DP⊥AC于P,DQ⊥BC于Q;

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⑴若平板车卡在直角走廊内,且∠,试求平板面的长(用表示);

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⑵若平板车要想顺利通过直角走廊,其长度不能超过多少米?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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19.(本题满分16分)已知数列的前n项和为,点在直线上.数列满足: ,且,前9项和为153.

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(1)求数列的通项公式;

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(2)设,数列的前n项和为,求使不等式对一切都成立的最大正整数的值;

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(3)设*问是否存在,使得成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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20.(本题满分16分)函数

   (1)试求f(x)的单调区间;

   (2)当a>0时,求证:函数f(x)的图像存在唯一零点的充要条件是a=1;

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(3)求证:不等式对于恒成立.

 

 

 

 

 

 

 

数学附加题

考试时间:30分钟    满分40分

  分.每小题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程.

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一、选答题:本大题共4小题,请从这4题中选做2小题.如果多做,则按所做的前两题记

1.(选修4一l:几何证明选讲)

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如图,圆O的直径,C为圆周上一点,,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E。求的度数与线段AE的长。

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2.(选修4―2:矩阵与变换)

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已知二阶矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为,属于特征值3的一个特征向量为,求矩阵A.

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3.(选修4―4:坐标系与参数方程)

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已知直线和参数方程为 ,是椭圆上任意一点,求点到直线的距离的最大值.

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4.(选修4―5:不等式选讲)

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   已知f(x)=定义在区间[-1,1]上,设x1,x2∈[-1,1]且x1≠x2

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(1)求证: | f(x1)-f(x2)|≤| x1-x2| (2)若a2+b2=1,求证:f(a)+f(b) ≤

选做题一:

 

 

 

 

 

 

 

选做题二:

 

 

 

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二、必答题:本大题共2小题。每小题10分,共20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程.

5. 将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b.设复数(i是虚数单位)。

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(1)求事件“为实数”的概率;

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(2)求事件“”的概率。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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6. 如图,直三棱柱A1B1C1―ABC中,C1C=CB=CA=2,AC⊥CB. D、E分别为棱C1C、B1C1的中点.

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(1)求与平面A1C1CA所成角的正切值;

(2) 求二面角B―A1D―A的平面角的正切值;

(3)在线段AC上是否存在一点F,使得EF⊥平面A1BD?

 

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一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.

1. 2.2i 3.()或() 4.16  5.a≥-8     6.64       7.(1)(3)(4)  8.6    9.   10.  11.1      12.   13.(-∞,1)

14.,提示:设,则,故为增函数,由ab,有,也可以考虑特例,如f(x)=x2

二、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

15.(1)                     

                                          5分

                                                 

为等腰三角形.                                             8分

(2)由(I)知

                        12分

                                                           14分

16.(1)由图形可知该四棱锥和底面ABCD是菱形,且有一角为,边长为2,

锥体高度为1。

设AC,BD和交点为O,连OE,OE为△DPB的中位线,

OE//PB,                                             3分

EO面EAC,PB面EAC内,PB//面AEC。          6分

(2)过O作OFPA垂足为F , 

在Rt△POA中,PO=1,AO=,PA=2,在Rt△POB中,PO=1,BO=1,PB=,   8分

过B作PA的垂线BF,垂足为F,连DF,由于△PAB≌△PAD,故DF⊥PA,DF∩BF=F,因此PA⊥面BDF.                                                  10分

在等腰三角形PAB中解得AF=,进而得PF=               

即当时,PA面BDF,                       12分

此时F到平面BDC的距离FH=

            14分

17.(1)                     4分

椭圆方程为                                7分

(2)         10分

=2       14分

所以P在DB延长线与椭圆交点处,Q在PA延长线与圆的交点处,得到最大值为.  15分

18.(1)DM=,DN=,MF=,EN=,                          4分

=EF=DM+DN-MF-EN=+

=       ()                                        7分

(2)“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角),平板车的长度不能超过,即平板车的长度;记 ,有=

===,                                            10分

此后研究函数的最小值,方法很多;如换元(记,则)或直接求导,以确定函数上的单调性;当取得最小值。                    15分

19. (1)点(n,)在直线y=x+上,∴=n+,即Sn=n2+n,

an=n+5.                                                                     3分

bn+2-2bn+1bn=0(nÎN*),∴bn+2bn+1 bn+1bn=…= b2b1

∴数列{bn}是等差数列,∵b3=11,它的前9项和为153,设公差为d,

则b1+2d=11,9b1+×d=153,解得b1=5,d=3.∴bn=3n+2.                  6分

(2)由(1)得,cn= = =(-),

Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1-)+(-)+(-)+…+(-)

=(1-).                                                           9分

Tn=(1-)在nÎN*上是单调递增的,∴Tn的最小值为T1=.

∵不等式Tn>对一切nÎN*都成立,∴<.∴k<19.∴最大正整数k的值为18.11分

(3) nÎN*,f(n)==

当m为奇数时,m+15为偶数;当m为偶数时,m+15为奇数.

若f(m+15)=5f(m)成立,则有3(m+15)+2=5(m+5)(m为奇数)

或m+15+5=5(3m+2)(m为偶数).                                      13分

解得m=11.所以当m=11时,f(m+15)=5f(m).                             16分

20.(1).                                       2分

   当时,上单调递增;                     3分

   当时,时,上单调递减;         

时,上单调递增.                 5分

综上所述,当时,的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.                                         6分

(2)充分性:a=1时,由(1)知,在x=1处有极小值也是最小值,

。而上单调递减,上单调递增,

上由唯一的一个零点x=1.                               9分

必要性:=0在上有唯一解,且a>0, 由(1)知,在x=a处有极小值也是最小值f(a),f(a)=0,即

时,上单调递增;当a>1时,

上单调递减。=0只有唯一解a=1.

=0在上有唯一解时必有a=1.                           12分

综上:在a>0时,=0在上有唯一解的充要条件是a=1.

(3)证明:∵1<x<2,∴.

 令,∴,14分

由(1)知,当a=1时,,∴,∴

,∴F(x)在(1,2)上单调递增,∴

。∴.             16分

 

附加题答案

1.解:如图,连结OC,因,因此,由于,

所以,又;      5分   

又因为,得,那么,

从而,于是。            10分   

2.解:设A=,由题知==3 

,                      5分

 ∴         ∴A=       10分

3.解: 直线的参数方程为 为参数)故直线的普通方程为  3分

   因为为椭圆上任意点,故可设其中.

  因此点到直线的距离是            7分

所以当时,取得最大值.                              10分 

4. 证(1) 

∴| f(x1)-f(x2)|<| x1-x2|                       5分   

(2),∴f(a)+f(b) ≤

   

                     10分

 5.解:(1)为实数,即为实数,  ∴b=3            2分

又依题意,b可取1,2,3,4,5,6

故出现b=3的概率为

即事件“为实数”的概率为                                            5分

(2)由已知,                           6分

可知,b的值只能取1、2、3                          

当b=1时, ,即a可取1,2,3

当b=2时, ,即a可取1,2,3

当b=3时, ,即a可取2                

由上可知,共有7种情况下可使事件“”成立                           9分

又a,b的取值情况共有36种

故事件“”的概率为                                           10分

6.解:(1)∵A1B1C1-ABC为直三棱柱  ∴CC1⊥底面ABC  ∴CC1⊥BC

       ∵AC⊥CB   ∴BC⊥平面A1C1CA

∴A1B与平面A1C1CA所成角的正切值               3分

(2)分别延长AC,A1D交于G. 过C作CM⊥A1G 于M,连结BM

∵BC⊥平面ACC­1A1   ∴CM为BM在平面A1C1CA的内射影

∴BM⊥A1G    ∴∠CMB为二面角B―A1D―A的平面角

    平面A1C1CA中,C1C=CA=2,D为C1C的中点

∴CG=2,DC=1 在直角三角形CDG中,  

  

即二面角B―A1D―A的平面角的正切值为     6分

(3)在线段AC上存在一点F,使得EF⊥平面A1BD .

其位置为AC中点,证明如下:

∵A1B1C1―ABC为直三棱柱 , ∴B1C1//BC

∵由(1)BC⊥平面A1C1CA,∴B1C1⊥平面A1C1CA

∵EF在平面A1C1CA内的射影为C1F ,F为AC中点 ∴C1F⊥A1D  ∴EF⊥A1D

同理可证EF⊥BD,         ∴EF⊥平面A1BD

∵E为定点,平面A1BD为定平面,点F唯一            10分

解法二:(1)同解法一                               3分

(2)∵A1B1C1―ABC为直三棱住   C1C=CB=CA=2 , AC⊥CB  D、E分别为C1C、B1C1的中点, 建立如图所示的坐标系得

C(0,0,0) B(2,0,0)  A(0,2,0)

C1(0,0,2)  B1(2,0,2)  A­1(0,2,2)

D(0,0,1)  E(1,0,2)

  设平面A1BD的法向量为

  

平面ACC1A1­的法向量为=(1,0,0) 

即二面角B―A1D―A的平面角的正切值为               6分

(3)在线段AC上存在一点F,设F(0,y,0)使得EF⊥平面A1BD

欲使EF⊥平面A1BD    由(2)知,当且仅当//

   

∴存在唯一一点F(0,1,0)满足条件. 即点F为AC中点        10分

 

 

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