西安中学师大附中高2009届第二次模拟考试高新一中长安一中数学试题命题人:西安中学薛党鹏审题人:长安一中岳建良本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分.共150分,考试时间120分——青夏教育精英家教网——

西安中学

师大附中

高2009届第二次模拟考试

高新一中

长安一中

数学试题（理科）

命题人：西安中学薛党鹏

审题人：长安一中岳建良

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.

　第I卷 (选择题，共60分)

一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1．集合，，则=

A. B.　

C.　　　D.

2. 函数y＝8sin4xcos4x的最小正周期是

A.2π B.4π C. D.

3．＝

A. i B.－i C. D.－

4. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是

A. B.

C. D.

5. 若，则标准正态总体在区间（―3，3）内取值的概率为

A．0.9987 B．0.9974 C．0.9944 D．0.8413

6. 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是

A． B．

C． D．

7.

A. B.2 C. D.

8.若双曲线的离心率为2,则双曲线的离心率为

A． B． C．2 D．

9. 设，则下列不等式中成立的是

A． B．

C． D．

10．设为所在平面内一点，且，则的面积与的面积之比为

A． B． C． D．

11. 从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为

A． B． C． D．

12. 已知为定义在上的可导函数,且对于恒成立,则

A. ,

B. ,

C. ,

D.,

第II卷（共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上

13.已知正数、满足，则的最小值为________.

14. 表面积为的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为．

15. 二项式的展开式中的常数项为________.(结果用数值作答).

16. 如果一个函数的图象关于直线对称,则称此函数为自反函数. 使得函数为自反函数的一组实数的取值为________

三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17．（本题满分12分）已知函数.

（Ⅰ）在所给的坐标纸上作出函数的图象(不要求写出作图过程).

（Ⅱ）令，.求函数的图象与轴交点的横坐标.

18. (本题满分12分) 按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校高2010级一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示．

（I）求该班学生参加活动的人均次数；

（II）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．

（III）从该班中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．

（要求：答案用最简分数表示）

19．（本题满分12分）如图所示，在矩形中，，点是的中点，将沿折起到的位置，使二面角是直二面角.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求二面角的正切值.

21. （本题满分12分）已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B恰好是抛物线y=x²的焦点，离心率等于.直线与椭圆Γ交于两点.

（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；

(Ⅱ) 椭圆Γ的右焦点是否可以为的垂心？若可以,求出直线的方程；若不可以,请说明理由.

21.（本题满分12分）设函数的定义域为，记函数的最大值为.

（Ⅰ）求的解析式;

（Ⅱ）已知,试求实数的取值范围.

22. （本题满分14分）已知正项数列满足对一切,有，其中.

(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ) 求证: 当时, .

西安中学

师大附中

高2009届第一次模拟考试

高新一中

长安一中

数学答题纸（理科）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

二、填空题:(本大题共4小题，每小题4分，共16分)

13. , 14. . 15. . 16. .

三、解答题:(本大题共6小题，共74分)

17.（Ⅰ）

（Ⅱ）

18. （Ⅰ）

（Ⅱ）

19. （Ⅰ）

（Ⅱ）

20. （Ⅰ）

（Ⅱ）

21. （I）

(II)

22. （Ⅰ）

（Ⅱ）

西安中学

师大附中

高2009届第二次模拟考试

高新一中

长安一中

数学（理）答题纸

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.

注 1.考生必须在指定位置写清楚自己的考号，姓名与班级。

意 2.选择题请用2B铅笔正确填涂。

事 3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。

项 4.请注意题号顺序，并把答案写在各题相应的答题区内。

西安中学

师大附中

高2009届第二次模拟考试

高新一中

长安一中

一.选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

C

C

A

A

B

D

A

D

D

A

B

A

二.填空题

13. .; 14. ; 15. 15; 16. ,可以填写任意实数

三、解答题

17．（Ⅰ）

(Ⅱ)

由得,从而,即 .所以,函数与轴交点的横坐标为. 12分

18.由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20．

（I）该班学生参加活动的人均次数为=． 3分

（II）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为． 6分

（III）从该班中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知

； 8分

. 10分

的分布列：

0

1

2

的数学期望：． 12分

19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，

易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC

又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，

∴BE⊥面D′EC，又CD′面D′EC，∴BE⊥CD′ 6分

（Ⅱ）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC

垂足为F，连接D′M，D′F，则D′M⊥EC

∵平面D′EC⊥平面BEC，∴D′M⊥平面EBC，

∴MF是D′F在平面BEC上的射影，

由三垂线定理得：D′F⊥BC，∴∠D′FM是二面D′―BC―E的平面角.

在Rt△D′MF中，。∴，

即二面角D′―BC―E的正切值为. 12分

法二：如图，以EB，EC为x轴，y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，则

设平面BEC的法向量为；平面D′BC的法向量为

由.取

∴。

∴二面角D′―BC―E的的正切值为.

20. (Ⅰ）设C方程为，则b = 1.

∴椭圆C的方程为 …………………………………………………6分

（Ⅱ）假设存在直线,使得点是的垂心.易知直线的斜率为，从而直线的斜率为1.设直线的方程为，代如椭圆的方程，并整理可得.设，则，.于是

解之得或.

当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意.当时，经检验知和椭圆相交，符合题意. 所以，当且仅当直线的方程为时, 点是的垂心. 12分

21. （Ⅰ）注意到当时, 直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论.

(1) 当a>0时，函数y=, 的图象是开口向上的抛物线的一段，

由<0知在上单调递增，∴.

(2)当a=0时，, ,∴. 3分

(3)当a<0时,函数y=, 的图象是开口向下的抛物线的一段，

若，即则 4分

若，即,则 5分

若，即,则. 6分

综上有 7分

（Ⅱ）当时，，所以， g(a)在上单调递增，于是由g(a)的不减性知等价于或

解之得或.所以，的取值范围为. 12分

22.(Ⅰ)对一切有，即 , () 4分

由及两式相减,得:

∴是等差数列,且, . 8分

说明:本小题也可以运用先猜后证(数学归纳法)的方法求解.给分时,猜想正确得3分,证明给5分.

(Ⅱ) 由,知,因此,只需证明. 10分

当或时,结论显然成立.当时,

所以,原不等式成立. 14分