上海市闵行区2008学年第二学期高三年级质量调研考试
数学试卷（文理科）
考生注意：
1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考号、姓名等填写清楚．
2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．
一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，考生应在答题纸上相应编号的空格内
直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1．方程
的解
.
2．（理）若直线
经过点
，且法向量为
，则直线的方程是
（结果用直线的一般式表示）.
（文）计算
.
3．（理）若函数
则
.
（文）若
，则
.
4．（理）若
是偶函数，则实数
.
（文）若直线经过点，且法向量为，则直线的方程是
（结果用直线的一般式表示）.
5．（理）在极坐标系中，两点的极坐标分别为
、
，
为极点，则
面积为
.
（文）若
，则函数
的最大值为
.
6．（理）无穷数列
的各项和为 .
（文）若是偶函数，则实数 .
7．根据右面的框图，该程序运行后输出的结果为 .
8．（理）已知地球半径为
公里，位于赤道上两点
、
分别在东经
和
上，则、两点的球面距离为
公里（
取3.14，结果精确到1公里）.
（文）已知一个圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则该圆柱的体积为 .
9．（理）一个袋子里装有外形和质地一样的5个白球、3个绿球和2个红球，将它们充分混合后，摸得一个白球计1分，摸得一个绿球计2分，摸得一个红球计4分，记随机摸出一个球的得分为
，则随机变量的数学期望
.
（文）在航天员进行的一项太空试验中，先后要实施
道程序，则满足程序只能出现在最后一步，且程序和程序
必须相邻实施的概率为
.
10．（理）若关于
的方程
在
上有解，则实数
的取值范围是 .
（文）若关于的方程
在
上有解，则实数的取值范围是 .
11．（理）对于任意
，不等式
恒成立，则实数
的范围为 .
（文）对于任意，不等式
恒成立，则实数的最小值为 .
12．（理）通过研究函数
在实数范围内的零点个数，进一步研究可得
在实数范围内的零点个数为
.
（文）通过研究方程
在实数范围内的解的个数，进一步研究可得函数
在实数范围内的零点个数为
.
二. 选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得4分，答案代号必须填在答题纸上．注意试题题号与答题纸上相应编号一一对应，不能错位.
13．（理）“
”是“
”的
[答]（ ）
(A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件.
(C) 充要条件. (D) 既非充分也非必要条件.
（文）“”是“
”的
[答]（ ）
(A) 充分非必要条件. (B) 必要非充分条件.
(C) 充要条件. (D) 既非充分也非必要条件.
14．（理）若
，且
，则
的取值范围是 [答]（ ）
(A) 
.
(B) 
. (C) 
. (D) 
.
（文）若，且
，则
的最大值是
[答]（ ）
(A) 2. (B) 3. (C) 4. (D) 5.
15．函数
图像上的动点
到直线
的距离为
，点到
轴的距离为
，则
[答]（ ）
(A) 5. (B)
.
(C)
.
(D) 不确定的正数.
16．（理）已知椭圆
（
为参数）上的点到它的两个焦点
、
的距离之比
，且
，则
的最大值为[答]（ ）
(A) 
. (B) 
. (C) 
. (D) 
.
（文）椭圆
上的点到它的两个焦点、的距离之比，且，则的最大值为 [答]（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .
三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸上与题号对应的区域内写出必要的步骤．
17.（本题满分12分）
（理）已知
的最大值为2，求实数
的值．
（文）已知
的最大值为2，求实数的值．
18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
（理）在长方体
中，
，
，
，点
在棱
上移动.
（1）探求
等于何值时，直线
与平面
成
角；
（2）点移动为棱中点时，求点到平面
的距离．
（文）如图几何体是由一个棱长为2的正方体与一个侧棱长为2的正四棱锥
组合而成.
（1）求该几何体的主视图的面积；
（2）若点是棱
的中点，求异面直线与
所成角的大小（结果用反三角函数表示）.
19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
课本中介绍了诺贝尔奖，其发放方式为：每年一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出了最有益贡献的人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后基金总额已达
万美元，假设基金平均年利率为
.
（1）请计算：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为多少万美元？当年每项奖金发放多少万美元（结果精确到1万美元）？
（2）设
表示为第(
)年诺贝尔奖发奖后的基金总额(1998年记为
),试求函数的表达式.并据此判断新民网一则新闻 “2008年度诺贝尔奖各项奖金高达168万美元”是否与计算结果相符，并说明理由.
20.（本题满分17分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分、第3小题满分7分．
（理）斜率为1的直线过抛物线
的焦点，且与抛物线交于两点、.
（1）若
，求
的值；
（2）将直线按向量
平移得直线，
是上的动点，求
的最小值．
（3）设
，
为抛物线上一动点，是否存在直线，使得被以
为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.
（文）斜率为1的直线过抛物线
的焦点，且与抛物线交于两点、．
（1）求的值；
（2）将直线按向量
平移得直线，是上的动点，求的最小值．
（3）设
，为抛物线上一动点，证明：存在一条定直线：
，使得被以为直径的圆截得的弦长为定值，并求出直线的方程．
21.（本题满分17分）（理）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分8分．第3小题根据不同思维层次表现予以不同评分．
对于数列
（1）当满足
（常数）且
（常数），
证明：为非零常数列.
（2）当
满足
（常数）且
（常数），
判断是否为非零常数列，并说明理由.
（3）对（1）、（2）等式中的指数进行推广,写出推广后的一个正确结论,并说明理由.
（文）本题共有3个小题，第1、2小题满分各5分，第3小题满分7分．第3小题根据不同思维层次表现予以不同评分．
对于数列
（1）当满足（常数）且（常数），
证明：为非零常数列.
（2）当满足（常数）且（常数），
判断是否为非零常数列，并说明理由.
（3）对（1）、（2）等式中的指数进行推广,写出推广后的一个正确结论（不用说明理由）.
闵行区2008学年第二学期高三年级质量调研考试
一、填空题：（每题5分）
1. 
； 2. 理：
、文：
； 3. 理：0、文：0；
4.理：0、文：； 5.理：
；文：40； 6.理：
、文：0；
7. 
；
8.理：
、文：
； 9.理：
、文：
；
10.理：
、文：
； 11.理：
、文：0； 12.理：当
为大于3的偶数时，个零点；当为大于或等于3的奇数时，
个零点、文：个零点.
二、选择题：（每题4分）13. ； 14. 
； 15. ； 16.
三、解答题：
17.（本题满分12分）
(理) 解：按行列式展开可得：
(3分)
(6分)
，(9分)
从而可得：
．(12分)
(文) 解：按行列式展开可得
(3分)
(6分)
由题意得： 
(9分) 
．(12分)
18.（本题满分14分）
（理）解：（1）法一：长方体中，因为点E在棱AB上移动，所以
平面，从而
为直线与平面所成的平面角，(3分)
中，
. (6分)
法二：以为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴,建立空间直角坐标系，则点
，平面的法向量为
，设
，得
，(3分)由
，得
，故
(6分)
（2）以为坐标原点，射线DA、DC、DD1依次为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，则点
，
， 
，
从而
，
，
(3分)
设平面
的法向量为
，由
令
， (5分)
所以点到平面的距离为
. (8分)
（文）解：（1）画出其主视图（如下图），
可知其面积
为三角形与正方形面积之和.
在正四棱锥中，棱锥的高
， (2分)
. (6分)
（2）取
中点
，联结
，
则
为异面直线与所成角. (2分)
在
中，
，
又在正四棱锥中，斜高为
， (4分)
由余弦定理可得 
(6分)
所以
，异面直线与所成的角为
. (8分)
19.（本题满分14分）
解：（1）由题意知：1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为
万美元； (3分)
每项奖金发放额为
万美元； (6分)
（2）由题意知：
，
，
所以， 
（）. (5分)
2007年诺贝尔奖发奖后基金总额为
2008年度诺贝尔奖各项奖金额为
万美元，
与168万美元相比少了34万美元，计算结果与新闻不符. (8分)
1千万瑞典克朗怎么换成美元成了，137，154，168万美元？
20.（本题满分17分）
（理）
解：（1）设
，时，直线：
代入中
可得：
（2分）
则
，由定义可得：
. （4分）
（2）直线：
，代入中，可得：
则
，
，设
，
则
即
（2分）
由
（4分）
则
当
时，的最小值为
．
（6分）
（3）假设满足条件的直线存在，其方程为，
设的中点为
，与以为直径的圆相交于点、
，设
的中点为
，
则
，点的坐标为
．
，
，
（2分）
，
．
（5分）
令
，得
，此时
为定值，
故满足条件的直线存在，其方程为
，即抛物线的通径所在的直线．
（7分）
（文）（1）设，直线：代入中
可得：
（2分）
则，由定义可得：.
（4分）
（2）由（1）可设
，
则
即
（2分）
由，
，
（4分）
则
当
时，的最小值为
．
（6分）
（3）设的中点为，与以为直径的圆相交于点、，
设的中点为，则，点的坐标为
．
，
，
（2分）
，
．
（5分）
令
，得
，此时
为定值，
故满足条件的直线存在，其方程为
，即抛物线的通径所在的直线． （7分）
21.（本题满分17分）
（理）解：（1）（法一）
当
时，
，所以
；
当
时，
是一常数，矛盾，所以为非零常数列； （4分）
（法二）设
，则有：
，
即
所以
，解得
.由此可知数列为非零常数列； （4分）
（2）记
，由（1）证明的结论知： 
为非零常数列.
（2分）
显然，为非零常数列时，不一定为非零常数列,如:非常数数列
（为大于
的正常数）和常数列
为非零常数）均满足题意要求. （5分）
（3）根据不同思维层次表现予以不同评分．
仅推广到3次方或4次方的结论或者是特殊次方的结论 （结论1分，解答1分）
满足
（常数）且
（常数），则当为奇数时，必为非零常数列；当为偶数时，不一定为非零常数列.
事实上，记
，由（1）证明的结论知：
为非零常数列，即
为非零常数列.所以当为奇数时，为非零常数列；当为偶数时，不一定为非零常数列.
（结论2分，解答2分）
或者：设
，即
，则
,即
对一切
均为常数，则必有
，即有
，当为奇数时，
，当为偶数时，
或者
.
满足（常数）且
（常数），且
为整数，
当均为奇数时，必为非零常数列；否则不一定为常数列.
事实上，条件（正常数）可以转化为
（常数），整个问题转化为，结论显然成立.
（结论3分，解答3分）
或者：设,即，当为奇数时，有
,则
，即
对一切均为常数，则必有，即有，则，当为偶数时，如反例：
,它既满足次方后是等差数列，又是（不管为奇数还是偶数）次方后成等比数列，但它不为常数列.
满足（常数）且（常数）,为有理数，
, 则必为非零常数列；否则不一定为常数列.
证明过程同
（结论4分，解答3分）
满足（常数）且（常数），且为实数，,
是不等于1的正数数列，则必为非零且不等于1的常数列；否则不一定为常数列.
事实上，当，为实数时，条件同样可以转化为,记，由第（1）题的结论知：
必为不等于1的正常数数列，也即为不等于1的正常数数列，
，从而也是不等于1的正常数数列.
（结论5分，解答3分）
（文）解：（1）（法一） （2分）
当时，，所以；
当时，是一常数，矛盾，所以为非零常数列； （5分）
（法二）设，则有：，
即
（2分）
所以，解得.由此可知数列为非零常数列； （5分）
（2）记，由（1）证明的结论知： 为非零常数列.
（2分）
显然，为非零常数列时，不一定为非零常数列,如:非常数数列（为大于的正常数）和常数列为非零常数）均满足题意要求. （5分）
（3）根据不同思维层次表现予以不同评分．
仅推广到3次方或4次方的结论或者是特殊次方的结论
（结论1分）
满足（常数）且（常数），则当为奇数时，必为非零常数列；当为偶数时，不一定为非零常数列.
事实上，记，由（1）证明的结论知：为非零常数列，即为非零常数列.所以当为奇数时，为非零常数列；当为偶数时，不一定为非零常数列.
（结论3分）
或者：设，即，则,即对一切均为常数，则必有，即有，当为奇数时，，当为偶数时，或者.
满足（常数）且（常数），且为整数，
当均为奇数时，必为非零常数列；否则不一定为常数列.
事实上，条件（正常数）可以转化为（常数），整个问题转化为，结论显然成立.
（结论5分）
或者：设,即，当为奇数时，有,则，即对一切均为常数，则必有，即有，则，当为偶数时，如反例：,它既满足次方后是等差数列，又是（不管为奇数还是偶数）次方后成等比数列，但它不为常数列.
满足（常数）且（常数）,