华南师大附中2007―2008学年度高三综合测试(二)

数学试题(理科)

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.

 

 

 

 

 

 

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2.若θ是第二象限的角,则下列四个值中,恒小于零的是                                     (    )       A.    B.       C.               D.cot

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3.已知上是单调增函数,则a的最大值是                       (   )

       A.0                        B.1                        C.2                        D.3

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4.在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前三项的和为21,则a3+ a4+ a5=     (    )

       A.33                      B.72                      C.84                      D.189

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叶形图(阴影部分),其面积是     (    )

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       A.1                        B.                     

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       C.                      D.

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6.已知上有最大值3,那么此函数在[-2,2]上的最小值为                                                     (    )

       A.-37                   B.-29                   C.-5                     D.-11

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7.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有                                              (    )

       A.9个                    B.8个                    C.5个                    D.4个

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8.已知是定义在R上的奇函数,且为偶函数,对于函数有下列几种描述

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       ①是周期函数                           ②是它的一条对称轴

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       ③是它图象的一个对称中心         ④当时,它一定取最大值

    其中描述正确的是                                                                                           (    )

       A.①②                   B.①③                   C.②④                   D.②③

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二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.已知等差数列{an}前17项和S17=51,则a7+ a11=          

2,4,6

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11.在4和67之间插入一个n项的等差数列后,仍是一个等差数列,且新等差数列的所有项之和等于781,则n的值为        

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12.已知函数的定义域,则函数的定义域是          

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13.在△ABC中,a,b,c分别为∠A、∠B、∠C、的对边,若a,b,c成等差数列,,且△ABC的面积为,则b=        

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14.规定一种运算:,例如:12=1,32=2,则函数的值域为                 .

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三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分12分)

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已知函数

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   (Ⅰ)求证:函数是偶函数;

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   (Ⅱ)判断函数分别在区间上的单调性,并加以证明.

 

 

 

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16.(本小题满分12分)

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        已知函数的图象经过点A(0,1)、B(). 当时,的最大值为

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   (Ⅰ)求的解析式;

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   (Ⅱ)由的图象经过怎样的变换可得到的图象.

 

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17.(本小题满分14分)

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    在数列

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   (Ⅰ)证明数列是等比数列;

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   (Ⅱ)求数列{}的前n项和Sn.

 

 

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18.(本小题满分14分)

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19.(本小题满分14分)

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    已知b>-1,c>0,函数的图象与函数的图象相切.

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   (Ⅰ)设

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   (Ⅱ)是否存在常数c,使得函数内有极值点?若存在,求出c的取值范围;若不存在,请说明理由.

 

 

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20.(本小题满分14分)

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        已知函数,若存在,则称是函数的一个不动点,设

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   (Ⅰ)求函数的不动点;

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   (Ⅱ)对(Ⅰ)中的二个不动点a、b(假设a>b),求使恒成立的常数k的值;

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   (Ⅲ)对由a1=1,an=定义的数列{an},求其通项公式an.

 

 

 

 

 

 

华南师大附中2007―2008学年度高三综合测试(二)

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一、选择题

1.C 解析:关于y轴的对称图形,可得

图象,再向右平移一个单位,即可得的图象,即的图

2,4,6

2.A 解析:由题可知,故选A.

3.D 解析:上恒成立,即恒成立,故选D.

4.C  解析:令公比为q,由a1=3,前三项的和为21可得q2+q-6=0,各项都为正数,所以q=2,所以,故选C.

5.C  解析:由图可知,阴影部分面积.

6.A  解析:故在[-2,2]上最大值为,所以最小值为,故选A.

7.A  解析:y值对应1,x可对应±1,y值对应4,x可对应±2,故定义域共有{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,2,-2},{-1,2,-2},{-,1,-2,2}共9种情况.

8.B  可采取特例法,例皆为满足条件的函数,一一验证可知选B.

二、填空题:

9.答案:6   解析:∵     ∴a7+a­11=6.

10.答案a=3、2π  解析:的上半圆

面积,故为2π.

11.答案:20  解析:由数列相关知识可知

12.答案:

解析:由题可知 ,故定义域为

13.答案:2   解析:由a,b,c成等差数列知①,由②,

由c>b>a知角B为锐角,③,联立①②③得b=2.

故当时,

三、解答题:

15.解:(Ⅰ)由题可知函数定义域关于原点对称.

    当

    则

    ∴

    当

    则

   ∴

    综上所述,对于,∴函数是偶函数.

(Ⅱ)当x>0时,

∴函数上是减函数,函数上是增函数.

(另证:当

∴函数上是减函数,在上是增函数.

16.解:(Ⅰ)∵函数图象过点A(0,1)、B(,1)

  ∴b=c

∵当

  ③

联立②③得        

(Ⅱ)①由图象上所有点向左平移个单位得到的图象

②由的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍,得到

的图象

③由的图象上所有点向下平移一个单位,得到

的图象

17.(1)证明:由题设,得

又a1-1=1,

所以数列{an-n}是首项为1,且公比为4的等比数列.

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知,于是数列{ an }的通项公式为

所以数列{an}的前n项和

18.分析:求停车场面积,需建立长方形的面积函数. 这里自变量的选取十分关键,通常有代数和三角两种设未知数的方法,如果设长方形PQCR的一边长为x(不妨设PR=x),则另一边长

这样SPQCR=PQ?PR=x?(100-),但该函数的最值不易求得,如果将∠BAP作为自变量,用它可表示PQ、PR,再建立面积函数,则问题就容易得多,于是可求解如下;

解:延长RP交AB于M,设∠PAB=,则

AM=90

       

,   ∵

∴当,SPQCR有最大值

答:长方形停车场PQCR面积的最大值为平方米.

19.解:(Ⅰ)【方法一】由

依题设可知,△=(b+1)24c=0.

.

【方法二】依题设可知

为切点横坐标,

于是,化简得

同法一得

(Ⅱ)由

可得

依题设欲使函数内有极值点,

则须满足

亦即

故存在常数,使得函数内有极值点.

(注:若,则应扣1分. )

20.解:(Ⅰ)设函数

   (Ⅱ)由(Ⅰ)可知

可知使恒成立的常数k=8.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 

可知数列为首项,8为公比的等比数列

即以为首项,8为公比的等比数列. 则 

.

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