题 号
一
二
三
总 分
1-10
11-13
14
15
16
17
18
得 分
上海市闸北区2009届高三模拟考试卷
数学（理科）
（考试时间：120分钟 满分：150分）
得分
评卷人
一．填空题 (本大题满分50分）本大题共有10题，只要求直接填写结果，
1．函数的定义域为___________.
试题详情
2．若，则的值为 ．
3．增广矩阵为的线性方程组的解用向量的坐标形式可表示为 ．
4．若展开式的第9项的值为12，则= ．
5．已知向量和的夹角为，，且，则________．
6．在极坐标系中，定点A，点B在曲线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是 ．
7．设圆C与双曲线的渐近线相切，且圆心在双曲线
的右焦点，则圆C的标准方程为 .
8．方程的实数解的个数为 ．
9．如图1是一个跨度和高都为2米的半椭圆形拱门，则能通过该拱门
的正方形玻璃板（厚度不计）的面积范围用开区间表示是__________． 图1
10．设，且，则的取值范围为 ．
11．已知复数，则……………………………………………………（ ）
A． B． C． D．
12．过点，且与向量平行的直线的方程是…………………………( )
13．在中，设、、分别是、、所对的边长，且满足条件，则面积的最大值为………………………………………………………………… ( )
三．解答题 (本大题满分85分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
如图2，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点．
（Ⅰ）求异面直线OC与MD所成角的大小；
（Ⅱ）求点M到平面的距离．
一种填数字彩票2元一张，购买者在卡上依次填上0~9中的两个数字（允许重复）．中奖规则如下：
如果购买者所填的两个数字依次与开奖的两个有序数字分别对应相等，则中一等奖10元；
如果购买者所填的两个数字中，只有第二个数字与开奖的第二个数字相等，则中二等奖2元；
其他情况均无奖金．
（Ⅰ）小明和小辉在没有商量的情况下各买一张这种彩票，求他俩都中一等奖的概率；
（Ⅱ）设“购买一张这种彩票中一等奖”为事件A，“购买一张这种彩票中二等奖”为事件B，请指出事件的含义，并求事件发生的概率；
（Ⅲ）设购买一张这种彩票的收益为随机变量，求的数学期望．
设，其中实常数．
（Ⅰ）求函数的定义域和值域；
（Ⅱ）试研究函数的基本性质，并证明你的结论．
将数列中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
……
记表中的第一列数，，，… ，构成数列．
（Ⅰ）设，求的值；
（Ⅱ）若，对于任何，都有，且．求数列 的通项公式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的数列，若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为的等比数列，且，求上表中第（）行所有项的和．
18．（本小题满分20分）
和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹．一般来说，在空间直角坐标系中，空间曲面的方程是一个三元方程．
（Ⅰ）在直角坐标系中，求到定点的距离为3的动点的轨迹（球面）方程；
（Ⅱ）如图3，设空间有一定点到一定平面的距离为
常数，即，定义曲面为到定点与到
定平面的距离相等（）的动点的轨迹，
试建立适当的空间直角坐标系，求曲面的方程； 图3
（Ⅲ）请类比平面解析几何中对二次曲线的研究，讨论曲面的几何性质．并在图4中通过画出曲面与各坐标平面的交线（如果存在）或与坐标平面平行的平面的交线（如果必要）表示曲面的大致图形．画交线时，请用虚线表示被曲面自身遮挡部分．
闸北区09届高三数学（理）学科模拟考试
一．填空题：
1．； 2．； 3． 4．2； 5．；
6. ； 7．； 8．3； 9．； 10．．
二．选择题：11．B ； 12．C； 13．C．
三．解答题：
14．[解]（Ⅰ）方法一（综合法）设线段的中点为，连接，
则为异面直线OC与所成的角（或其补角） ………………………………..1分
由已知，可得，
为直角三角形 ……………………………………………………………….1分
， ……………………………………………………………….4分
．
所以，异面直线OC与MD所成角的大小． …………………………..1分
方法二(向量法)
以AB,AD,AO所在直线为轴建立坐标系，
则, ……………………………………………………2分
，， ………………………………………………………………………………..1分
设异面直线OC与MD所成角为，
．……………………………….. …………………………2分
OC与MD所成角的大小为．…………………………………………………1分
（Ⅱ）方法一（综合法）
作于， ……………………………………………………………………………1分
且，平面
平面 ………………………………………………………………………………4分
所以，点到平面的距离 …………………………………………………2分
设平面的一个法向量，
…………………………………………………………………2分
……………………………………………………………………………………….2分
设到平面的距离为
则．……………………………………………………………………3分
15．[解]（Ⅰ）设“小明中一等奖”为事件 ，“小辉中一等奖”为事件 ，事件与事件相互独立，他们俩都中一等奖，则
所以，购买两张这种彩票都中一等奖的概率为． ………………………………..4分
（Ⅱ）事件的含义是“买这种彩票中奖”，或“买这种彩票中一等奖或中二等奖”…1分
显然，事件A与事件B互斥，
所以， ………………………………..3分
故购买一张这种彩票能中奖的概率为．……………………………………………………..1分
（Ⅲ）对应不中奖、中二等奖、中一等奖，的分布列如下：
…………………………………………..………………………………………………….3分
购买一张这种彩票的期望收益为损失元．…………………………………………………..3分
16．[解] （Ⅰ）由于恒成立，所以函数的定义域为………………..2分
，
（1）当时，函数，函数的值域为…………………………1分
（2）当时，因为，所以，
，从而，………………………………………………..3分
所以函数的值域为． ……………………………………………………….1分
（Ⅱ）假设函数是奇函数，则，对于任意的，有成立，
即
当时，函数是奇函数． …………………………………………………….2分
当时，函数是偶函数． ………………………………………………..2分
当，且时，函数是非奇非偶函数． ………………………………….1分
对于任意的，且，
………………………………………..3分
所以，当时，函数是常函数 ………………………………………..1分
当时，函数是递减函数． ………………………………………..1分
17．[解]（Ⅰ）由题意，……………………………6分
（Ⅱ）解法1：由且知
，，
因此，可猜测（） ………………………………………………………4分
将，代入原式左端得
左端
即原式成立，故为数列的通项．……………………………………………………….3分
用数学归纳法证明得3分
解法2：由 ，
令得，且
即，……… ……………………………………………………………..4分
所以
因此，，．．．，
将各式相乘得………………………………………………………………………………3分
（Ⅲ）设上表中每行的公比都为，且．因为，
所以表中第1行至第9行共含有数列的前63项，故在表中第10行第三列，………2分
因此．又，所以． …………………………………..3分
则．…………………………………………2分
18．[解]（Ⅰ）动点的轨迹是以为原点，以3为半径的球面 ……………………………1分
并设动点的坐标为，动点满足．
则球面的方程为． …………………………………………………4分
（Ⅱ）设动点，则
所以 ……………………………………………………………5分
整理得曲面的方程： （*） …………………………………………2分
若坐标系原点建在平面上的点处，可得曲面的方程：同样得分．
（Ⅲ）（1）对称性：由于点关于平面的对称点、关于平面的对称点均满足方程（*），所以曲面关于平面与平面对称． …………………2分
又由于点关于轴的对称点满足方程（*），所以曲面关于轴对称．
（2）范围：由于，所以，，即曲面在平面上方． ………………2分
（3）顶点：令，得，即坐标原点在曲面上，点是曲面的顶点． …2分
…………………………2分
的定义域为___________.
，则
的值为
．
的线性方程组的解用向量的坐标形式可表示为
．
展开式的第9项的值为12，则
=
．
和
的夹角为
，
，且
，则
________．
，点B在曲线
上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是
．
7．设圆C与双曲线
的渐近线相切，且圆心在双曲线
的实数解的个数为
．
，且
，则
的取值范围为
．
，则
……………………………………………………（ ）
B．
C．
D．
，且与向量
平行的直线的方程是…………………………( )
B．
C．
D．
中，设
、
、
分别是
、
、
所对的边长，且满足条件
，则
B．
C．
D．
中，底面
是边长为2的正方形，
，
，
为
的中点．
（Ⅰ）求异面直线OC与MD所成角的大小；
的距离．
的含义，并求事件
，求
，其中实常数
．
的定义域和值域；
中的所有项按第一行排3项，以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
，
，
，… ，构成数列
． 
，求
的值；
，对于任何
，都有
，且
．求数列
的等比数列，且
，求上表中第
（
）行所有项的和
．
中，空间曲面的方程是一个三元方程
．
的距离为3的动点
的轨迹（球面）方程； 
（Ⅱ）如图3，设空间有一定点
到一定平面
的距离为
，即
，定义曲面
为到定点
）的动点
； 2．
；
3．
4．2；
5．
； 
； 7．
； 8．3；
9．
； 10．
．
的中点为
，连接
，
为异面直线OC与
所成的角（或其补角） ………………………………..1分
，
为直角三角形 ……………………………………………………………….1分
， ……………………………………………………………….4分
．
． …………………………..1分
轴建立坐标系，
,
……………………………………………………2分
，
，
………………………………………………………………………………..1分
，
．……………………………….. …………………………2分
OC与MD所成角的大小为
．…………………………………………………1分
于
， ……………………………………………………………………………1分
且
，
平面
平面
………………………………………………………………………………4分
到平面
…………………………………………………2分
，
…………………………………………………………………2分
．
……………………………………………………………………………………….2分
．……………………………………………………………………3分
，“小辉中一等奖”为事件
，事件
． ………………………………..4分
的含义是“买这种彩票中奖”，或“买这种彩票中一等奖或中二等奖”…1分
………………………………..3分
．……………………………………………………..1分
的分布列如下：
元．…………………………………………………..3分
恒成立，所以函数
的定义域为
………………..2分
，
时，函数
，函数
…………………………1分
时，因为
，所以
，
，从而
，………………………………………………..3分
． ……………………………………………………….1分
，有
成立，
当
时，函数
时，函数
对于任意的
，且
，
………………………………………..3分
……………………………6分
且
知
，
，
，
，
（
） ………………………………………………………4分
代入原式左端得
得
，且
，……… ……………………………………………………………..4分
，
，．．．，
，且
．因为
，
的前63项，故
在表中第10行第三列，………2分
．又
，所以
． …………………………………..3分
．
…………………………………………2分
为原点，以3为半径的球面 ……………………………1分
，动点
．
． …………………………………………………4分
，则
……………………………………………………………5分
的方程：
（*） …………………………………………2分
上的点
同样得分．
平面的对称点
、关于
平面的对称点
均满足方程（*），所以曲面
轴的对称点
满足方程（*），所以曲面
，所以，
，即曲面
平面上方． ………………2分
（3）顶点：令
，得
，即坐标原点在曲面
点是曲面