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第十四单元  直线与平面及简单几何体

一.选择题

(1) 有如下三个命题：

①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线；

②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线；

③过平面的一条斜线有一个平面与平面垂直．

其中正确命题的个数为                                               (       )

A．0                     B．1                        C．2                        D．3

(2)下列命题中正确的个数是                                                                                                (       )

①     四边相等的四边形是菱形;

②     若四边形有两个对角都是直角, 则这个四边形是圆内接四边形;

③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”;

④  若两平面有一条公共直线, 则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上.

A．  1个                   B．  2个                     C．  3个                      D．  4个

(3) 已知直线及平面，下列命题中的假命题是                                         (       )

A．若，，则.               B．若，，则.

C．若，，则.              D．若，，则.

(4) 木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的           (       )

A．60倍                       B．60倍                    C．120倍             D．120倍

(5) 已知a、b、c是直线，是平面，给出下列命题：

①若；                      

②若；

③若；

④若a与b异面，且相交；   

⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直.

    其中真命题的个数是                                                                                               (       )

       A．1                        B．2                        C．3                        D．4

(6) 在正四面体P―ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是                    (       )

       A．BC//平面PDF                                    B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC                              D．平面PAE⊥平面ABC

(7) 如图, 四边形ABCD中, AD∥BC, AD=AB, ∠BCD=45°, ∠BAD=90°. 将△ADB沿BD折起, 使平面ABD⊥平面BCD, 构成三棱锥A-BCD. 则在三棱锥A-BCD中, 下列命题正确的是                                                                                                                                 (       )

A． 平面ABD⊥平面ABC                           B． 平面ADC⊥平面BDC

C． 平面ABC⊥平面BDC                            D．平面ADC⊥平面ABC

(8) 如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是A₁B₁的中点，则E到平面AB C₁D₁的距离为                                                                                                                                  (       )

A．　                       B．　                  C．　                     D．

                  （第8题图 ）                    （第9题图 ）                                （第10题图 ）

 (9)如图正四面体D-ABC中, P∈面DBA, 则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有                                                                                                                                 (       )

A．  0条                                                       B．  1条

C．  2条                                                       D．  3条

(10) 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF//AB，EF=2，则该多面体的体积为                                             (       )

       A．                   B．                   C．                      D．

二.填空题

(11) 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为             .

(12)已知直线m、n和平面α、β满足: α∥β, m⊥α, m⊥n, 则n与β之间的位置关系

是__________

(13) 如图，正方体的棱长为，将该正方体沿对角面切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为__________．

(14) 已知平面和直线，给出条件：

①；②；③；④；⑤.

   （i）当满足条件           时，有；（ii）当满足条件           时，有.

       （填所选条件的序号）

三.解答题

(15)  如图，正三棱锥S―ABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点.求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）二面角S―BC―A的大小；

（Ⅲ）正三棱锥S―ABC的体积

(16) 已知正三棱锥的体积为，侧面与底面所成的二面角的大小为.（1）证明：；

    （2）求底面中心到侧面的距离.

(17) 如图，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点.

   （Ⅰ）求证AC⊥BC₁；

（Ⅱ）求证AC₁//平面CDB₁；

（Ⅲ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值.

(18)在斜三棱柱A₁B₁C₁-ABC中, 底面是等腰三角形

, AB=AC, 侧面BB₁C₁C⊥底面ABC.

(Ⅰ)若D是BC的中点, 求证:AD⊥CC₁;

(Ⅱ)过侧面BB₁C₁C的对角线BC₁的平面交侧棱

于M, 若AM=MA₁, 求证:截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C;

(Ⅲ) AM=MA₁是截面MBC₁⊥平面BB₁C₁C的充要

条件吗? 请你叙述判断理由.

一选择题:

1.C 

[解析]：②③正确

2.B  

[解析]：①②错误，因为这个四边形可能是空间四边形；③④正确；

3.D 

[解析]： 反例：长方体上底面的两条相交棱，都平行于下底面，但这两条棱不平行。

4.C 

[解析]：木星的体积约是地球体积的倍，

则它的半径约是地球半径的倍（体积比是半径比的立方）

故表面积约是地球表面积的120倍（面积比是半径比的平方）

5.A 

[解析]： ②正确

6.C 

[解析]：由DF//BC可得BC//平面PDF  ，故A正确。      

若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O 在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE

故DF⊥平面PAE，故B正确。

由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确。

7.D 

[解析]：∵在四边形ABCD中, AD∥BC, AD=AB, ∠BCD=45°, ∠BAD=90°

              ∴BD⊥CD

              又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD平面BCD=BD

              故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB

              故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC

8.B 

[解析]：∵A₁B₁//平面AB C₁D₁的中点，∴E到平面AB C₁D₁ 的距离等于A₁到平面AB C₁D₁的距离，而A₁到平面AB C₁D₁的距离等于A₁到直线AB₁的距离，即.

9.Ｃ 

[解析]： 在平面DAB内过点Ｂ与直线BC成60°角的直线共有２条，

　　　　故在平面DAB内过点Ｐ与直线BC成60°角的直线共有２条。

10.C

[解析]： 如图，把原多面体分成一个直三棱柱和两个三棱锥，

它们的底面正方形ABCD

GB=，1

直三棱柱的体积为1，两个三棱锥的体积和为

原多面体的体积为

二填空题:

11. 4

[解析]：∵一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为

              ∴截面圆的半径为1，

               故球的半径为，∴球的表面积为4

12. nβ或 n∥β

[解析]： 已知直线m、n和平面α、β满足: ∵α∥β, m⊥α, ∴m⊥β,

                又m⊥n,故nβ或 n∥β

13.

[解析]：  新四棱柱的表面是四个正方形，与两个矩形（长为，宽为1）

故全面积为

14. ③⑤   ②⑤

[解析]：若，，则；

               若，，则。

三解答题

(15) 解：（Ⅰ）∵SB=SC，AB=AC，M为BC中点，

∴SM⊥BC，AM⊥BC.

由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即

（Ⅱ）作正三棱锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，

∵SM⊥BC，AM⊥BC，

∴∠SMA是二面角S―BC―A的平面角.

在Rt△SGM中，

∵

∴∠SMA=∠SMG=60°，

即二面角S―BC―A的大小为60°。

（Ⅲ）∵△ABC的边长是3，

∴

∴

(16   [证明]（1）取边的中点，连接、，

          则，，故平面.           ∴ .                 

[解]（2）如图， 由（1）可知平面平面，则是侧面与底面所成二面角的平面角.

    过点作为垂足，则就是点到侧面的距离.            

设为，由题意可知点在上，

∴ ，.

,

        ∴ ，

        ∵ ，∴ .

        即底面中心到侧面的距离为3. 

(17) 解法一：

   （Ⅰ）∵直三棱柱ABC―A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴AC⊥BC，且BC₁在平面ABC内的射影为BC，

∴AC⊥BC­₁.

（Ⅱ）设CB₁与C₁B的交点为E，连结DE，

 ∵D是AB的中点，E是BC₁的中点，

  ∴DE//AC₁，

  ∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

  ∴AC₁//平面CDB₁.

（Ⅲ）∵DE//AC₁，∴∠CED为AC₁与B₁C所成的角，

  在△CED中，ED=

  ∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为

  解法二：

  ∵直三棱柱ABC―A₁B₁C₁底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

  ∴AC，BC，C₁C两两垂直.

  如图，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，

  y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

  则C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），

  B₁（0，4，4），D（，2，0）.

（Ⅰ）

（Ⅱ）设CB₁与C₁B的交点为E，则E（0，2，2）.

（Ⅲ）

       ∴异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值为

(18) (Ⅰ)证明: ∵AB=AC, D是BC的中点,

∴AD⊥BC. ∵底面ABC⊥平面BB₁C₁C,

∴AD⊥侧面BB₁C₁C.

∴AD⊥CC₁.   

(Ⅱ)延长B₁A₁与BM交于N, 连结C₁N. 

∵AM=MA₁,

∴NA₁=A₁B₁.

∵A₁B₁=A₁C₁,

∴A₁C₁= A₁N=A₁B₁.

∴C₁N⊥C₁B₁.

∵截面N B₁C₁⊥侧面BB₁C₁C,

∴C₁N⊥侧面BB₁C₁C.

∴截面C₁N B⊥侧面BB₁C₁C.

∴截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C.

(Ⅲ)解: 结论是肯定的, 充分性已由(2)证明,

下面证必要性: 过M作ME⊥B C₁于E,

 ∵截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C,

∴ME⊥侧面BB₁C₁C.

又∵AD⊥侧面BB₁C₁C,

∴ME∥AD.

∴M, E, A, D共线.

∵A M∥侧面BB₁C₁C,

∴AM∥DE.

∵CC₁⊥AM,

∴DE∥CC₁.

∵D是BC的中点,

∴E是BC₁的中点.

∴AM= DE=CC₁=AA₁.

 ∴AM= MA₁.

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