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第十八单元  极限

一.选择题：

1．=                                                   (     )

    A．           B．0            C．              D．

2．用数学归纳法证的过程中，当n=k到n=k+1时，左边所增加的项为                       (     )

   A．            B．                 C．     D．

3．已知两点O（0,0），Q（,b）,点P₁是线段OQ的中点，点P₂是线段QP₁的中点，P₃是线段P₁P₂的中点，┅，是线段的中点，则点的极限位置应是   (     )

A．（,）     B.()          C.()         D. ()

4．          10x    x>1

  若f(x)=    5      x=1    则 的值为                    (     )

7-x    x<1

A． 5              B. 6              C. 10                 D. 不存在

5．的值为                                         (     )

A．             B. 不存在          C. 3                 D. 0

6. 的值为                                (     )

A． 0              B. 不存在          C.                D. 1

7．＝                                         (     )

    A．2              B．4             C．                  D．0

8．若f(x)在[a,b]上连续且单调递减，又f(x)在[a,b]上的值域为[m,n]，则下列正确的

是                                                                (     )

A．   B.    C.    D.

9. f(x)在x₀处连续，是f(x₀)有定义的__________条件                  (     )

  A．充分不必要       B. 充要            C. 必要不充分    D. 既不充分也不必要

10．                          (     )

    A．－1            B．1              C．－           D．

二.填空题：

11．等比数列1，，，,……所有项和为___________.

12．… =_______________.

13.若，则m=__________,n=__________.

14.若 ， 则a=_________,b=_________.

三.解答题：

15．用数学归纳法证明：能被x －y整除.

16．已知 =,且 

（1）       求 ， ，

（2）       猜测{ }的通项公式，并用数学归纳法证明之.

17．                                    讨论 的值. 

18．自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x_n表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N^*，且x₁＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x_n成正比，死亡量与x_n²成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c.

   （Ⅰ）求x_n+1与x_n的关系式；

   （Ⅱ）猜测：当且仅当x₁，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）

（Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x₁∈（0,2），都有x_n＞0，n∈N^*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.

一、选择题：

1、A 

[解析]: ==

2、C 

[解析]: 当n=k到n=k+1时，左边增加了两项,减少了一项,

左边所增加的项为 －=

3、C 

[解析]: ∵点的位置应是(

        ∴点的极限位置应是()

4、B 

[解析]: =

5、A 

[解析]: =

6、D 

[解析]: =

=

7、C 

[解析]: =

8、A 

[解析]: 若f(x)在[a,b]上连续且单调递减，又f(x)在[a,b]上的值域为[m,n],

         则f(a)=n,f(b)=m,而 f(a)

         故

9、A 

[解析]: f(x)在x₀处连续，是f(x₀)有定义充分不必要的条件

10、C 

[解析]:

二、填空题：

11、2

[解析]: 等比数列1，，，,……所有项和为

12、

[解析]: …

=

=

=

13、2；1

[解析]: 若, 则=

               ∴

        ∴

14、1；0

[解析]: ∵

        又2

        ∴

三、解答题：

15、证①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即x^2k-1-y^2k-1能被x-y整除

则当n=k+1时，

x^2k+1-y^2k+1= x²x^2k-1-y²y^2k-1= x²x^2k-1-x²y^2k-1+x²y^2k-1-y²y^2k-1= x²(x^2k-1-y^2k-1)+ (x²-y²)y^2k-1

∴x^2k+1-y^2k+1也能被x-y整除

故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n∈N*, x^2n-1-y^2n-1能被x-y整除

16、解: ∵,  ∴

         ∴

∴(1) = ， = ，=

           (2) 猜测=;下面用数学归纳法证

               ①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即=

则当n=k+1时，  

故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有=

                       1    （|a|<1）

17、解:=   -   （a=1）

                       -2    （|a|>1）

18、解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax_n，被捕捞量为bx_n，死亡量为

   （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则x_n恒等于x₁， n∈N*，从而由（*）式得

        因为x₁>0，所以a>b.

        猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变.

   （Ⅲ）若b的值使得x_n>0，n∈N*

         由x_n+1=x_n(3－b－x_n), n∈N*, 知

         0<x_n<3－b, n∈N*, 特别地，有0<x₁<3－b. 即0<b<3－x₁.

        而x₁∈(0, 2)，所以

        由此猜测b的最大允许值是1.

        下证 当x₁∈(0, 2) ，b=1时，都有x_n∈(0, 2), n∈N*

        ①当n=1时，结论显然成立.

②假设当n=k时结论成立，即x_k∈(0, 2),

则当n=k+1时，x_k+1=x_k(2－x_k­)>0.

又因为x_k+1=x_k(2－x_k)=－(x_k－1)²+1≤1<2,

所以x_k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立.

由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有x_n∈(0,2).

综上所述，为保证对任意x₁∈(0, 2), 都有x_n>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.

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