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第十五单元  空间中有关角、距离的计算

一.选择题

(1)已知则与的夹角等于                                              (       )

A．90°                      B．30°                C．60°                          D．150°

(2) 正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中,E、F分别是棱AB, BB₁的中点,A₁E与C₁F所成的角是θ，则                                                                                                                                (       )

A．θ=60⁰                      B．θ=45⁰               C．               D．

(3)设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，则△BCD是                                                                                           (       )

A．钝角三角形           B．直角三角形        C．锐角三角形            D．不确定

(4) 如图，长方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD₁、AB、CC₁的中点，则异面直线A₁E与GF所成的角是                                        (       )

     A．            B．

     C．            D．

(5) 把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为                                                               (       )

      A． 90°                         B． 60°                   C． 45°                     D． 30°

(6) 如图,在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中,P是侧面

BB₁C₁C内一动点,若P到直线BC与直线C₁D₁的

距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是                                                                        (       )

A．  直线  

B．  圆

C．  双曲线

D．  抛物线

(7) 在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,若AB=BB₁, 则A B₁与C₁B所成角的大小为    (       )

A ． 60°                         B．  90°                C．  105°                   D．  75°

(8) 在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=2，A A₁=1，则点A到平面A₁BC的距离为       (       )

A．                        B．                    C．               D．

(9) 将=60⁰,边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成二面角,若[60°,120°], 则折后两条对角线之间的距离的最值为                                  (       )

A．最小值为, 最大值为    B．最小值为, 最大值为

C．最小值为, 最大值为    D．最小值为, 最大值为

(10) 如图，正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁的棱长为1，O是底面A₁B₁C₁D₁的中心，则O到平面AB C₁D₁的距离为　                                           (       )

A．　                                     B．　                           

C．　                                    D．

二.填空题

(11) 直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中, ∠A₁B₁C₁=90°, 且AB=BC=BB₁, E, F分别是AB, CC₁的中点, 那么A₁C与EF所成的角的余弦值为          .

(12) 如图，在三棱锥P―ABC中，PA=PB=PC=BC，且，则PA与底面ABC所成角为                  ..

(13) 如图，正方体的棱长为1，C、D分别是两条棱的中点，A、B、M是顶点，那么点M到截面ABCD的距离是         .

(14) 已知平面α和平面β交于直线，P是空间一点，PA⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足B，且PA=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到的距离为

               .

三.解答题

(15) 如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、．将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M．求：二面角的大小

(16) 在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点.

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；

（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

(17) 已知直四棱柱中，，底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，AB||CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线与DC所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）

(18) 如图3所示，在四面体P―ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB.

   （Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；

   （Ⅱ）求二面角B―CE―F的大小.

一选择题:

1.D  

[解析]：以D为原点建立坐标系

2.C  

[解析]：

3.C  

[解析]：

是锐角

同理, D,C都是锐角.故△BCD是锐角三角形.

4.D  

[解析]：以D为原点建立坐标系

               异面直线A₁E与GF所成的角是

5.C  

[解析]：

              如图,当平面BAC平面DAC时, 三棱锥体积最大

取AC的中点E,则BE平面DAC,

故直线BD和平面ABC所成的角为DBE

 cosDBE=,∴DBE=45⁰

6.D 

[解析]：∵P到直线直线C₁D₁的距离就是P到C₁的距离,

∴点P到直线BC与点C₁的距离相等

故动点P的轨迹所在的曲线是以C₁为焦点、以直线BC为准线的抛物线

7.B 

[解析]：以A为原点建立坐标系，AC，AA₁为y,z轴，垂直于平面AA₁C₁C直线为x轴，则

                故 =0

8.B  

[解析]：点A到平面A₁BC的距离为h

              ∵

∴

∴

∴

9.B 

[解析]：

           由题设ED=,E、F分别是中点

则折后两条对角线之间的距离为EF的长

在中，ED=，BE=DE=

当=120°时，EF的最小值为,当=60°时，EF的最大值为

10.B

[解析]：过O作EF//C₁D₁分别交A₁C₁、B₁D₁于E、F，

               ∵EF//平面ABC₁D₁，∴O到平面AB C₁D₁的距离等于E到平面AB C₁D₁的距离，而E到平面AB C₁D₁的距离为

二填空题:

11.         

[解析]：分别以BA、BC、BB₁为ox、oy、oz轴，则

12.   

[解析]：∵PA=PB=PC，∴P在底面的射影E是ABC的外心，又

故E是BC的中点，所以 PA与底面ABC所成角为PAE，

而PAE=。

13.  

[解析]：分别取AB、CD的中点E、F，连EF，过M作MNEF于N，再作

EGMF于G

则MN的长为点M到截面ABCD的距离。

先在EFG中计算

再在MFN中计算MN=MF=

14.

[解析]：∵点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，

∴αβ

设射影为点C，点P到的距离为PC的长，

而PC为矩形PACB的对角线

∴PC=

三解答题

(15) 解（Ⅰ）连接AM，A₁G

∵G是正三角形ABC的中心，

且M为BC的中点，

∴A，G，M三点共线，AM⊥BC．

∵B₁C₁∥BC，

∴B₁C₁⊥AM于G，

即GM⊥B₁C₁，GA₁⊥B₁C₁，

∴∠A₁GM是二面角A₁―B₁C₁―M的平面角．

∵点A₁在平面BB₁C₁C上的射影为M，

∴A₁M⊥MG，∠A₁MG=90°

在Rt△A₁GM中，由A₁G=AG=2GM得∠A₁GM=90°

即二面角A₁―B₁C₁―M的大小是60°

.

 (16) 解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB.

∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC平面ABC，∴平面SDB⊥平面ABC.过N作NE⊥BD于E，NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM.∴∠NFE为二面角

N-CM-B的平面角.∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，∴

SD⊥平面ABC.又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD.

∵SN=NB，∴NE=SD===，

且ED=EB.在正△ABC中，由平几知识可求得EF=MB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==2，∴二面角N-CM-B的大小是arctan2.

（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF==，∴S_△CMN=CM?NF=，S_△CMB=BM?CM=2.

设点B到平面CMN的距离为h，∵V_B-CMN=V_N-CMB，NE⊥平面CMB，∴S_△CMN?h=S_△CMB?NE，

∴h==.即点B到平面CMN的距离为.

解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.∵

SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=

AC∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.

如图所示建立空间直角坐标系O-xyz.则A（2，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M(1，，0)，N(0，，).∴=（-4，0，0），=（0，2，2），∵?=（-4，0，0）?（0，2，2）=0，∴AC⊥SB.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（-1，0，）.设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则

      _?n=3x+y=0，

                            取z=1，则x=，y=-，∴n=(，-，1)，

?n=-x+z=0，

又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量， ∴cos(n，)==.

∴二面角N-CM-B的大小为arccos.

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（-1，，0），n=（，-，1）为平面CMN的一个法向量，

∴点B到平面CMN的距离d==.

(17) [解法一]由题意AB//CD，是异面直线BC₁与DC所成的角.

连结AC₁与AC，在Rt△ADC中，可得，

又在Rt△ACC₁中，可得AC₁=3.

在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，

得

又在中，可得，

在

∴异而直线BC₁与DC所成角的大小为

 [解法二]如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD₁所在直线为x、y、z轴建立直

角坐标系.

则C₁（0，1，2），B（2，4，0）

所成的角为，

则

∴异面直线BC₁与DC所成角的大小为

（18（I）证明：∵，

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形．

同理可证：△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，

△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．

所以，PA⊥平面ABC．

又∵，

而，

故CF⊥PB,又已知EF⊥PB，

∴PB⊥平面CEF．

（II）由（I）知PB⊥CE,   PA⊥平面ABC，

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE．

在平面PAB内，过F作FF₁垂直AB交AB于F1，则FF₁⊥平面ABC，

EF₁是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC，

故∠FEB是二面角B―CE―F的平面角．

二面角B―CE―F的大小为

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