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第十二单元  椭圆、双曲线、抛物线

一.选择题

(1) 抛物线上一点的纵坐标为4，则点与抛物线焦点的距离为                   (       )

A  2                       B 3                         C 4                  D 5

(2) 若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=                                        (       )

Ａ                      Ｂ                          Ｃ                   Ｄ   

(3) 若方程x²+ky²=2表示焦点在y轴上的椭圆, 那么实数k的取值范围是                      (       )

A (0, +∞)                 B (0, 2)                     C (1, +∞)            D (0, 1)

(4) 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为,F₁、F₂分别是双曲线的左、右焦点，若，则                                                  (       )

        A 1或5                     B 6                            C  7                     D  9

(5) 对于抛物线y²=2x上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a|, 则a的取值范围是  (       )

A [0, 1]                     B (0, 1)                      C           D (-∞, 0)

(6) 若椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，线段F₁F₂被抛物线y²=2bx的焦点分成5：3两段，则此椭圆的离心率为                                                                    (        )

A                        B                   C                     D

(7) 已知双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线的离心率为          (        )

A                      B                      C                    D 

(8) 设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是抛物线y²=2px(p>0)上的两点,并且满足OA⊥OB. 则y₁y₂等于(      )

A ? 4p²                       B 4p²                       C ? 2p²                 D 2p² 

(9) 已知双曲线的焦点为F₁、F₂，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为                                                                                                              (        )

           A                 B                        C                  D

(10) 设椭圆的两个焦点分别为F_1、、F₂，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，

若△F₁PF₂为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是                                                   (        )

           A                      B                  C         D 

二.填空题

(11) 若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________.

(12)设中心在原点的椭圆与双曲线2 x²-2y²=1有公共的焦点,且它们的离心率互为倒数,则该椭圆的方程是              .

(13) 过双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M、N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________．

(14) 以下同个关于圆锥曲线的命题中

       ①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；

       ②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；

       ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

       ④双曲线有相同的焦点.

       其中真命题的序号为                 （写出所有真命题的序号）

三.解答题

(15)点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.求点P的坐标；

.

(16) 已知抛物线C: y=-x²+6, 点P（2, 4）、A、B在抛物线上, 且直线PA、PB的倾斜角互补.

(Ⅰ)证明:直线AB的斜率为定值;

(Ⅱ)当直线AB在y轴上的截距为正数时, 求△PAB面积的最大值及此时直线AB的方程.

(17) 双曲线 (a>1,b>0)的焦距为2c,直线l过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s≥c.求双曲线的离心率e的取值范围

(18) 已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M.

（1）求抛物线方程；

（2）过M作，垂足为N，求点N的坐标；

（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.

一选择题:

1.D  

[解析]：点与抛物线焦点的距离就是点与抛物线准线的距离，即

2.B 

[解析]：∵焦点在x轴上的椭圆的离心率为，∴

则m=

3.D 

[解析]： ∵方程x²+ky²=2，即表示焦点在y轴上的椭圆

∴     故

4.C 

[解析]：双曲线的一条渐近线方程为，故

            又P是双曲线上一点，故，而，则7

5.C 

[解析]：对于抛物线y²=2x上任意一点Q, 点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a|,

若显然适合

若，点P(a, 0)都满足|PQ|≥|a|就是

     即，此时

则a的取值范围是

6.D 

[解析]： ，

7.D 

[解析]：双曲线的准线为

抛物线的准线为

因为两准线重合，故=，=3，则该双曲线的离心率为

8.A 

[解析]：∵A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)是抛物线y²=2px(p>0)上的两点,并且满足OA⊥OB.

∴

 则y₁y₂ = ? 4p²

9.C 

[解析]：∵∴点M在以F₁F₂为直径的圆上

               故由

则点M到x轴的距离为

10.D

[解析]：不妨设点P在 x轴上方，坐标为,∵△F₁PF₂为等腰直角三角形

∴|PF₂|=|F₁F₂|，即，即

故椭圆的离心率e是

二填空题:

11.

[解析]：  因为双曲线的渐近线方程为，

则设双曲线的方程是，又它的一个焦点是

故

12.  

[解析]：双曲线2 x²-2y²=1的焦点为（，离心率为

故椭圆的焦点为（，离心率为,

则，因此该椭圆的方程是  

13. 2

[解析]：设双曲线(a＞0，b＞0)的左焦点F₁，右顶点为A，因为以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点， 故|F₁M|=|F₁A|，

∴∴

14. ③④

[解析]：根据双曲线的定义必须有，动点P的轨迹才为双曲线，

故①错

∵∴P为弦AB的中点，故

则动点P的轨迹为以线段AC为直径的圆。故②错

三解答题

(15) 解:由已知可得点A（－6，0），F（4，0）

设点P的坐标是，由已知得

由于

(16) (Ⅰ)证: 易知点P在抛物线C上, 设PA的斜率为k, 则直线PA的方程是y-4=k(x-2).

代入y=-x²+6并整理得x²+2kx-4(k+1)=0此时方程应有根x_A及2,

由韦达定理得:

2x_A=-4(k+1) , ∴x_A=-2(k+1). ∴y_A=k(x_A-2)+4.=-k²-4k+4. ∴A(-2(k+1), -k²-4k+4).

由于PA与PB的倾斜角互补, 故PB的斜率为-k. 

 同理可得B(-2(-k+1), -k²+4k+4)

∴k_AB=2. 

(Ⅱ) ∵AB的方程为y=2x+b, b>0.代入方程y=-x²+6消去y得x²+2x+b-6=0.

|AB|=2.  

∴S=|AB|d=?2

.

此时方程为y=2x+.

(17) 解:直线l的方程为bx+ay-ab=0.由点到直线的距离公式,且a>1,

得到点(1,0)到直线l的距离d₁ =.

同理得到点(-1,0)到直线l的距离d₂ =.

s= d₁ +d₂==.

由s≥c,得≥c,即5a≥2c².

于是得5≥2e².即4e²-25e+25≤0.

解不等式,得≤e²≤5.由于e>1>0,

所以e的取值范围是

(18) 解：（1）抛物线

∴抛物线方程为y²= 4x.

（2）∵点A的坐标是（4，4）， 由题意得B（0，4），M（0，2），

又∵F（1，0）， ∴

则FA的方程为y=（x－1），MN的方程为

解方程组

（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2.

当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，

当m≠4时，直线AK的方程为  即为

圆心M（0，2）到直线AK的距离，令

时，直线AK与圆M相离；

  当m=1时，直线AK与圆M相切；

          当时，直线AK与圆M相交.

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