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第十九单元  导数

一.选择题

(1) 下列求导运算正确的是                                          (       )

A．(x+               B．(log₂x)′=  

C．(3^x)′=3^xlog₃e                  D． (x²cosx)′=-2xsinx  

(2) 函数y＝x²＋1的图象与直线y＝x相切，则＝                    (       )

A．            B．          C．             D．1

(3) 函数是减函数的区间为                        (       )

A．  B．     C．           D．（0，2）

(4) 函数已知时取得极值，则= (       )

A．2           B．3          C．4          D．5

(5) 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是           (       )

    A．3            B．2              C．1              D．0

(6) 设f₀(x) ＝ sinx，f₁(x)＝f₀′(x)，f₂(x)＝f₁′(x)，…，f_n＋1(x) ＝ f_n′(x)，n∈N，则f₂₀₀₅(x)＝     (       )

A．sinx　          B．－sinx　      C．cosx           D．－cosx

(7) 已知函数的图象如右图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 (       )

(8)设在[0, 1]上的函数f(x)的曲线连续, 且f′(x)>0, 则下列一定成立的是 (       )

A． f(0)<0       B． f(1)>0        C． f(1)> f(0)         D． f(1)<f(0) 

(9)设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是  (       )

A．  (-3,0)∪(3,+∞)               B．  (-3,0)∪(0, 3)

    C．  (-∞,- 3)∪(3,+∞)            D．  (-∞,- 3)∪(0, 3)

(10)若的大小关系                             (       )

    A．    B．    C．      D．与x的取值有关

二.填空题

(11)设f(x)= x|x|, 则f′(  0)=         .

(12)函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是          .

(13)若曲线y=h(x)在点P(a, h(a))处的切线方程为2x+y+1=0，则与0的大小关系是        0

(14)过原点作曲线的切线，则切点的坐标为           ，切线的斜率为        .

三.解答题

(15) 已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为.

 （Ⅰ）求函数的解析式；

（Ⅱ）求函数的单调区间.

(16) 已知函数在处取得极值.

（Ⅰ）讨论和是函数的极大值还是极小值；

（Ⅱ）过点作曲线的切线，求此切线方程.

(17) 已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.

(18) 已知是函数的一个极值点，其中，

（I）求与的关系式；

（II）求的单调区间；

（III）(理科做)当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围.

一选择题:

1.B  

[解析]：A错，∵(x+

          B正确，∵(log₂x)′=  

C错，∵(3^x)′=3^xln3                 

D错，∵(x²cosx)′=2xcosx+ x²(-sinx)

2.B  

[解析]：此题利用导数作麻烦！

        把两个解析式联立得方程x^2-x＋1=0,由=0即得＝

3.D  

[解析]：由<0，得0<x<2

∴函数是减函数的区间为（0，2）

4.D  

[解析]：∵，又时取得极值

∴

则=5

5.D  

[解析]：切线的斜率为

又切线的倾斜角小于，即

故

解得：

故没有坐标为整数的点

6.C  

[解析]：f₀(x) ＝ sinx，f₁(x)＝f₀′(x)=cosx，f₂(x)＝f₁′(x)= -sinx，

f₃(x)＝f₂′(x)= -cosx， f₄(x) ＝ f₃′(x)=sinx，循环了

则f₂₀₀₅(x)＝f₁(x)＝cosx

7.C  

[解析]：由函数的图象可知：

        当时， <0，>0，此时增

当时，>0，<0，此时减

当时，<0，<0，此时减

当时，>0，>0，此时增

8.C  

[解析]：因为在[0, 1]上的函数f(x)的曲线连续, 且f′(x)>0，

        所以函数f(x) 在[0, 1]是增函数，

        故f(1)> f(0)

9.D  

[解析]：∵当x＜0时,＞0 ，即

                 ∴当x＜0时，f(x)g(x)为增函数，

又g(x)是偶函数且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0

         故当时，f(x)g(x)＜0

         又f(x)g(x)是奇函数，

         当x>0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0

         故当时，f(x)g(x)＜0

         故选D

10.D 

[解析]：令  ，则

        当时，<0,

        当时，=0，

当时，>0

即当时，先递减再递增，

而

故的值与x取值有关，即2x与sinx的大小关系与x取值有关

二填空题:

11. 0    

[解析]：∵ ∴f′(  0)=0

12. 3，-17 

[解析]：由=0，得，

        当时，>0，当时，<0，当时，>0，故的极小值、极大值分别为，

        而

故函数在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。

13. <

[解析]：∵曲线y=h(x)在点P(a, h(a))处的切线的斜率为

而已知切线方程为2x+y+1=0，即斜率为－2

故=－2

∴< 0

14. （1，e） e

[解析]：

设切点的坐标为（，切线的斜率为k,

则，故切线方程为

又切线过原点，∴

三解答题

(15) 解：（Ⅰ）由的图象经过P（0，2），知d=2，

所以

由在处的切线方程是，知

故所求的解析式是

（Ⅱ）

解得  当

当

故内是增函数，

在内是减函数，在内是增函数.

 (16)（Ⅰ）解：，依题意，，即

解得.

∴.

令，得.

若，则，

故在上是增函数，在上是增函数.

若，则，故在上是减函数.

所以，是极大值；是极小值.

（Ⅱ）解：曲线方程为，点不在曲线上.

设切点为，则点M的坐标满足.

因，故切线的方程为

注意到点A（0，16）在切线上，有

化简得，解得.

所以，切点为，切线方程为.

(17)解： 依定义

的图象是开口向下的抛物线，

(18) 解(I)因为是函数的一个极值点,

所以,即，所以

（II）由（I）知，=

当时，有，当变化时，与的变化如下表：

1

0

0

调调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

故有上表知，当时，在单调递减，

在单调递增，在上单调递减.

（III）由已知得，即

又所以即①

设，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，

所以解之得

又

所以

即的取值范围为

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