本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn

第十三单元  直线与圆锥曲线的位置关系

一.选择题

(1) 椭圆上的点到直线的最大距离是                           (       )

    A 3                               B                        C                   D

(2) 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线                                         (       )

A  有且仅有一条    B 有且仅有两条        C有无穷多条       D不存在

(3) 设双曲线 (0<a<b)的半焦距c, 直线l过(a, 0), (0, b)两点. 已知原点到直线l的距离为c, 则双曲线的离心率为                                                                                (       )

A  2                              B                          C                     D 

(4) 如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是          (       )

A              B      

C    D

 (5)过双曲线2x²-y²-8x+6=0的由焦点作直线l交双曲线于A、B两点, 若|AB|=4, 则这样

的直线有                                                                (       )

A 4条                           B 3条                         C 2条                       D 1条

(6) 已知定点A、B且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则|PA|的最小值是  (       )

A                          B               C                         D 5

(7) 直线l 交椭圆4x²+5y²=80于M、N两点, 椭圆的上顶点为B点, 若△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点上, 则直线l的方程是                                                                           (       )

A  5x+6y-28=0              B  5x+6y-28=0      

C  6x+5y-28=0             D  6x-5y -28=0  

(8) 过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p、q，则等于                                                                                          (       )

A2a                                B                           C                    D

(9) 已知双曲线的焦点为F₁、F₂，点M在双曲线上且MF₁⊥x轴，则F₁到直线F₂M的距离为                                                                              (       )

A                    B                C                         D

(10) 点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为                                                       (       )

A                       B                                  C                        D

二.填空题

(11) 椭圆的两焦点为F₁，F₂，一直线过F₁交椭圆于P、Q，则△PQF₂的周长为 ___________.

(12) 若直线l过抛物线(a>0)的焦点，并且与y轴垂直，若l被抛物线截得的线段长为4，则a=_______

(13) 过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为               .

(14) 已知F₁、F₂是椭圆+y²=1的两个焦点, P是该椭圆上的一个动点, 则|PF₁|?|PF₂|的最大值是             .

三.解答题

(15) 如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线y²=2x于M（x₁,y₁）,N(x₂, y₂)两点．

（1）写出直线的方程；

（2）求x₁x₂与y₁y₂的值；

（3）求证：OM⊥ON．

(16) 已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦点为F₁、F₂，离心率为e. 直线

l：y＝ex＋a与x轴．y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F₁关于直线l的对称点，设＝λ.

（Ⅰ）证明：λ＝1－e²；

（Ⅱ）若，△PF₁F₂的周长为6；写出椭圆C的方程.

(17) 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为

   （1）求双曲线C的方程；

   （2）若直线与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且（其中O为原点）. 求k的取值范围.

(18) 如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线与x轴的交点为M，|MA₁|∶|A₁F₁|＝2∶1．

   (Ⅰ)求椭圆的方程；

   (Ⅱ)若点P为l上的动点，求∠F₁PF₂最大值

一选择题:

1.D  

[解析]：设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）

则点P到直线的距离

d=

2.B 

[解析]：过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，

若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于2，不适合。

故设直线AB的斜率为k，则直线AB为

代入抛物线得，

∵A、B两点的横坐标之和等于5，∴，

则这样的直线有且仅有两条

3.A  

[解析]：直线l过(a, 0), (0, b)两点. 即为：，故原点到直线l的距离=c， 

                ∴e =  或2，

又0<a<b，故

                 ∴e = 2

4.D 

[解析]：用‘点差法’： 这条弦的两端点位A(x₁,y₁),B（x₂,y₂）,斜率为k,则

          两式相减再变形得

又弦中点为(4，2)，故k=

故这条弦所在的直线方程y－2=(x-4)

5.B 

[解析]：过双曲线2x²－y²－2=0的由焦点作直线l交双曲线于A、B两点,

若则AB为通径，而通径长度正好是4，故直线l交双曲线于同支上的A、B两点且|AB|=4，这样的直线只有一条，

若l经过顶点，此时|AB|=2, 故直线l交双曲线于异支上的A、B两点且|AB|=4，这样的直线有且只有两条，

故选B。

6.C 

[解析]：已知定点A、B且|AB|=4，动点P满足|PA|－|PB|=3，则点P的轨迹是以A、B为左右焦点的双曲线的右支，

故|PA|的最小值是A到右顶点的距离，为2+

7.D 

[解析]：设M（x₁,y₁）、N(x₂,y₂), 而B（0，4）, 又△BMN的重心恰好落在椭圆的右焦点（2，0）上, 故x₁+ x₂=6，y₁+ y₂=－4，又A、B在椭圆上，故得

则直线l的方程是

8.C 

[解析]：过抛物线(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，

设P（x₁,y₁）、Q(x₂,y₂),则p=

设直线PQ为，联立直线方程与抛物线方程可得

=，

==4

9.C 

[解析]：已知双曲线的焦点为F₁、F₂，点M在双曲线上且MF₁⊥x轴，M(3,则MF₁=,故MF₂=，故F₁到直线F₂M的距离为

10.A

[解析]：  点P（-3，1）在椭圆的左准线上， 故

                  点P（-3，1）关于直线的对称的点为Q，则Q（-3，-5），设椭圆的左焦点为F，则直线FQ为，故

                   ∴1，

二填空题:

11. 20  

[解析]：△PQF₂的周长=4      

12. 

[解析]：l被抛物线截得的线段长 即为通径长  ，故 =4，   

13.

[解析]：   参考选择题（4），由‘点差法’ 可得斜率为    

14. 4  .

[解析]：由焦半径公式|PF₁|=，|PF₂|=

|PF₁|?|PF₂|=（）（）=

则|PF₁|?|PF₂|的最大值是=4.

三解答题

(15)解

（Ⅰ）解：直线l的方程为

                      ①

（Ⅱ）解：由①及y²=2x消去y可得

   ②

点M，N的横坐标x₁与 x₂是②的两个根，

由韦达定理得

（Ⅲ）证明：设OM，ON的斜率分别为k₁, k₂,

 (16) （Ⅰ）证法一：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，

所以A、B的坐标分别是.

    所以点M的坐标是（）.    由

即

证法二：因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是

所以      因为点M在椭圆上，所以 

即

   解得

   （Ⅱ）当时，，所以   由△MF₁F_­2­­的周长为6，得

         所以  椭圆方程为

(17) 解：（Ⅰ）设双曲线方程为 

由已知得

故双曲线C的方程为

（Ⅱ）将

由直线l与双曲线交于不同的两点得

即  ①  设，则

而

于是

    ②

由①、②得  

故k的取值范围为

(18)解 (Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，则

(Ⅱ)

本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn