广东省惠州市2008届高三第二次调研考试
数学试题（文科） 2007.11
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一．选择题：本大题共l0小题，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．每小题5分，满分50分．
1.命题“
”的否命题是( )．
A.
B.
C.
D.
2.为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文
密文（加密），接受方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文
对应密文
，例如，明文
对应密文
．当接受方收到密文
时，则解密得到的明文为（ ）．
A． 4，6，1，7 B． 7，6，1，
3.已知向量
，
，若
，则实数
的值等于（ ）．
A. 
B.
C.
D.
4.已知椭圆的长轴长是短轴长的
倍，则椭圆的离心率等于（
）．
A．
B．
C． D．
5.在一次射击训练中，一小组的成绩如下表：
环数
人数
已知该小组的平均成绩为
环，那么成绩为环的人数是（ ）．
．
．
．
．
6. 下列函数为奇函数的是（ ）．
．
．
．
．
7. 下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（ ）．
 |
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
8.如果执行下面的程序框图，那么输出的
（ ）．
Ａ．2450 Ｂ.2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652
9.将函数
的图象先向左平移
，然后将所得图象上
所有的点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象
对应的函数解析式为（ ）．
A．
B．
C．
D．
10.已知全集R，集合
,若a>b>0，
则有( )．
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二．填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．
11．化简：
．
12. 已知
是定义在R上的函数，且对任意
，都有：
，又
则
．
13.若实数
满足条件
，则目标函数
的最大值为_____ ．
14. (坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，圆
上的动点到直线
的距离的最大值是
．
15. (几何证明选讲选做题)如右图所示，
是圆
的直径，
，
，
，则
．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．
16.（本小题12分） 在△ABC中，
是角
所对的边，且满足
．
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)设
，求
的最小值.
17．(本小题14分)已知：正方体
，
，E为棱
的中点．
(Ⅰ)
求证：
；
(Ⅱ)
求证：
平面
；
（Ⅲ）求三棱锥
的体积．
18．（本小题12分）有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是
．
(Ⅰ)求他乘火车或飞机来的概率；
(Ⅱ)求他不乘轮船来的概率；
（Ⅲ)如果他来的概率为
，请问他有可能是乘何种交通工具来的？
19.（本小题14分）设函数
的图象关于原点对称，
的图象在点
处的切线的斜率为
，且当
时
有极值．
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)求的所有极值．
20. (本小题14分)已知圆
：
和圆
，直线
与圆相切于点
；圆的圆心在射线
上，圆过原点，且被直线
截得的弦长为
．
(Ⅰ)求直线的方程；
(Ⅱ)求圆的方程．
21．（本小题14分）已知数列
是等差数列， 
；数列
的前n项和是
，且
．
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
(Ⅱ) 求证：数列是等比数列；
(Ⅲ) 记
，求
的前n项和
．
广东省惠州市2008届高三第二次调研考试
题号
答案
1.解析：命题“
”的否命题是：“
”，故选C．
2.解析：由已知，得：
，故选．
3.解析：若
，则
，解得
．故选．
4.解析：由题意得
，又
．
故选．
5.解析：设成绩为环的人数是
，由平均数的概念，得：
．
故选．
6.解析：是偶函数；是指数函数；是对数函数．故选．
7.解析：①的三视图均为正方形；②的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为圆；④的三视图中正视图．侧视图为相同的等腰三角形，俯视图为正方形．故选．
8.解析：程序的运行结果是
，选．
9.解析：
的图象先向左平移
，横坐标变为原来的倍
．答案：．
10.解析：特殊值法：令
，有
．故选．
题号
11
12
13
14
15
答案
11.解析：
．
12.解析：令
，则
，令
，则
，
同理得
即当
时，
的值以为周期，
所以
．
13.解析：由图象知：当函数
的图象过点
时，
取得最大值为2．
14. (坐标系与参数方程选做题)解析：将极坐标方程转化成直角坐标方程，圆
上的动点到直线
的距离的最大值就是圆心
到直线的距离
再加上半径
．故填．
15. (几何证明选讲选做题)解析：连结
，
则在
和
中：
，
且
，所以
，
故
．
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．
16.析：主要考察三角形中的边角关系、向量的坐标运算、二次函数的最值．
解：(Ⅰ)∵
，∴
， ………………3分
又∵
，∴
． ……………………………………………5分
（Ⅱ）
……………………………………………6分
， ………………………8分
∵
，∴
． ……………10分
∴当
时，取得最小值为
． …………12分
17．析：主要考察立体几何中的位置关系、体积．
解：(Ⅰ)证明：连结
，则//
， …………1分
∵
是正方形，∴
．∵
面，∴
．
又
，∴
面
． ………………4分
∵
面，∴
，
∴
． …………………………………………5分
（Ⅱ）证明：作
的中点F，连结
．
∵
是
的中点，∴
，
∴四边形
是平行四边形，∴ 
． ………7分
∵
是的中点，∴
，
又
，∴
．
∴四边形
是平行四边形，
//
，
∵
，
，
∴平面
面
． …………………………………9分
又
平面
，∴
面． ………………10分
（3）
． ……………………………11分
． ……………………………14分
18．析：主要考察事件的运算、古典概型．
解：设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件
，则
，
，
，
，且事件之间是互斥的．
(Ⅰ)他乘火车或飞机来的概率为
………4分
(Ⅱ)他乘轮船来的概率是，
所以他不乘轮船来的概率为
． ………………8分
（Ⅲ)由于
，
所以他可能是乘飞机来也可能是乘火车或汽车来的． …………………12分
19.析：主要考察函数的图象与性质，导数的应用．
解：(Ⅰ)由函数
的图象关于原点对称，得
，………………1分
∴
，∴
． …………2分
∴
，∴
． ……………………………4分
∴
，即
． ……………………6分
∴
． ……………………………………………………7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，∴
．
由
，∴
． …………………9分
0
+
0
ㄋ
极小
ㄊ
极大
ㄋ
∴
． ………………………14分
20．析：主要考察直线．圆的方程，直线与圆的位置关系．
解：(Ⅰ)（法一）∵点
在圆
上， …………………………2分
∴直线
的方程为
，即
． ……………………………5分
（法二）当直线垂直轴时，不符合题意． ……………………………2分
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为
，即
．
则圆心
到直线的距离
，即：
，解得
，……4分
∴直线的方程为． ……………………………………………5分
（Ⅱ）设圆
：
，∵圆过原点，∴
．
∴圆的方程为
．…………………………7分
∵圆被直线
截得的弦长为
，∴圆心
到直线：的距离：
． …………………………………………9分
整理得：
，解得
或
． ……………………………10分
∵
，∴． …………………………………………………………13分
∴圆：
． ……………………………………14分
21．析：主要考察等差、等比数列的定义、式，求数列的和的方法．
解：(Ⅰ)设
的公差为，则：
，
，
∵
，
，∴
，∴
． ………………………2分
∴
． …………………………………………4分
（Ⅱ）当
时，
，由
，得
． …………………5分
当
时，
，
，
∴
，即
． …………………………7分
∴
． ……………………………………………………………8分
∴
是以
为首项，为公比的等比数列． …………………………………9分
（Ⅲ）由（2）可知：
． ……………………………10分
∴
． …………………………………11分
∴
．
∴
．
∴
． ………………………………………13分
∴
． …………………………………………………14分