山西省太原五中2008―2009学年度第二学期月考试题(5月)
高 三 数 学(理)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设为虚数单位,则的展开式中第三项为( )
A. B. C. D.
2. 已知集合,,,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
3. “”是“直线和直线互相垂直”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4. 椭圆的焦点在轴上,长轴长是短轴长的两倍,则的值为( )
A. B. C.2 D.4
5. 对于不重合的两个平面与, 给定下列条件
①存在平面,使得、都垂直于;
②存在平面,使得、都平行于;
③存在直线,直线,使得;
④存在异面直线、,使得,,,;其中可以判定与平行的条件有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6. 从集合中任取3个不同的数排成数列,则这个数列为等差数列的概率为( )
A. B. C. D.
7. 若,则与的大小关系是( )
A. B.
C. D.与的取值有关
8. 已知F1、F2是椭圆左、右焦点,过F1的直线与椭圆相交于A、B,且,,则椭圆离心率为( )
A. B. C. D.
9.若直线通过点,则( )
A. B. C. D.
10.已知图甲中的图像对应的函数,则图乙中的图像对应的函数在下列给出的四式中只可能是 ( )
甲 乙
A. B. C. D.
11.已知可导函数,则当时,大小关系为( )
A. B. C. D.
12. 在正整数数列中,由1开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染1,再染2个偶数2、4;再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9;再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16;再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25.按此规则一直染下去,得到一红色子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,….则在这个红色子数列中,由1开始的第2009个数是( )
A.3955 B
第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填答题卷中相应的横线上.
13. 设随机变量服从正态分布, 若,则
14. 已知曲线与直线有两个不同的公共点,则实数的取值范围是 .
15. 已知如图,正方体的棱长为,以顶点为球心,为半径作一个球,则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于 _________ .
16.已知圆,圆,过圆上的点M向圆作切线,为切点,给出下列命题:
①两圆上任意两点间的距离的范围是
②确定时,两圆的公切线有两条
③对于任意存在定直线与两圆都相交
④的范围是
其中正确的命题是 。
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.(本小题满分10分)已知函数的图象经过点,且当时,的最大值为.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)是否存在向量,使得将的图象按照向量平移后可以得到一个奇函数的图象?若存在,请求出满足条件的一个;若不存在,请说明理由.
18.(本小题满分10分)已知数列、满足,,且,
(Ⅰ)求数列和的通项公式;
(Ⅱ)记数列的前项和为,数列的前项和为,求.
19. (本小题满分10分) 在一个盒子中,放有标号分别为1,2,3,的三张卡片,从这个盒子中,有放回地先后抽取两张卡片的标号分别为,,记.
(Ⅰ)求随机变量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;
(Ⅱ) 求随机变量的分布列和数学期望。
20. (本小题满分14分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,DAB为直角,AB‖CD,AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.
(Ⅰ)试证:CD平面BEF;
(Ⅱ)设PA=k?AB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知椭圆C:的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,直线是抛物线的一条切线.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点的动直线L交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
22. (本小题满分14分)设函数,其图象在点处的切线的斜率分别为.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若函数的递增区间为,求的取值范围;
(Ⅲ)若当时(是与无关的常数),恒有,试求的最小值.
一、选择题:(每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
C
A
B
C
D
C
B
C
B
A
二、填空题:(每小题5分,共20分)
13、 0.1; 14、__(0,1]_; 15、; 16、①④ ;
三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17. (1)由得:, ……………………………… 2分
即, ……………… 4分
当时,,
因为,有,,得
故 …………………………… 7分
(2)∵是奇函数,且将的图象先向右平移个单位,再向上平移1个单位,可以得到的图象,∴是满足条件的一个平移向量.……10分
18. (Ⅰ),……5分
(Ⅱ),……8分
,……10分
19. (Ⅰ) ,的可能取值为1,2,3
∴ ∴,因此,随机变量的最大值为3
……5分
(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3,则……6分
,,,……9分
随机变量的分布列(略)
……10分
20.(Ⅰ) 解法一:
(Ⅰ)证:由已知DF∥AB且DAD为直角,故ABFD是矩形,从而CDBF. ………..4分
又PA底面ABCD,CDAD,故知CDPD.在△PDC中,E、F分别PC、CD的中点,故EF∥PD,从而CDEF,由此得CD面BEF. ………..7分
(Ⅱ)连结AC交BF于G.易知G为AC的中点.连接EG,则在△PAC中易知EC∥PA.又因
PA底面ABCD,故BC底面ABCD.在底面ABCD中,过C作GHBD,垂足为H,连接EH.由三垂线定理知EHBD.从而EHG为二面角E-BD-C的平面角. ………..10分
设AB=a,则在△PAC中,有
BG=PA=ka.
以下计算GH,考察底面的平面图(如答(19)图2).连结GD.
因S△CBD=BD?GH=GB?OF.故GH=.
在△ABD中,因为AB=a,AD=
而GB=FB=AD-a.DF-AB,从而得GH== =因此tanEHG==………..12分
由k>0知是锐角,故要使>,必须>tan=
解之得,k的取值范围为k>………..14分
解法二:
(Ⅰ)如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为:轴建立空间直角坐标系,设AB=a,则易知点A,B,C,D,F的坐标分别为
A(0,0,0),B(a,0,0),C(
F(a,
从而=(
?=0,故 .
设PA=b,则P(0,0,b),而E为PC中点.故 第(20)
?=0,故.
由此得CD面BEF.
(Ⅱ)设E在xOy平面上的投影为G,过G作GHBD垂足为H,由三垂线定理知EHBD.
从而EHG为二面角E-BD-C的平面角.
由PA=k?AB得P(0,0,ka),E,G(a,a,0).设H(x,y,0),则=(x-a,y-a,0), =(-a,
由?=0得=a(x-a)+
又因=(x,a,y,0),且与的方向相同,故=,即2x+y=
由①②解得x=a,y=a,从而=,||=a.
tanEHG===.由k>0知,EHC是锐角,由EHC>得tanEHG>tan即>故k的取值范围为k>.
21.解:(1)由
因直线相切,
,
∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,∴
故所求椭圆方程为 …………4分
(2)当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:
当L与x轴平行时,以AB为直径的圆的方程:
由
即两圆相切于点(0,1)
因此,所求的点T如果存在,只能是(0,1)…………8分
事实上,点T(0,1)就是所求的点,证明如下.
当直线L垂直于x轴时,以AB为直径的圆过点T(0,1)
若直线L不垂直于x轴,可设直线L:
由
记点、
所以TA⊥TB,即以AB为直径的圆恒过点T(0,1)
所以在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件.…………12分
22. 解答:(1),由题意及导数的几何意义得
, (1)
, (2) ……2分
又,可得,即,故
由(1)得,代入,再由,得
, (3) ……4分
将代入(2)得,即方程有实根.
故其判别式得,或, (4)
由(3),(4)得;……6分
(2)由的判别式,
知方程有两个不等实根,设为,
又由知,为方程()的一个实根,则有根与系数的关系得
, ……8分
当或时,,当时,,
故函数的递增区间为,由题设知,
因此,由(Ⅰ)知得的取值范围为;……10分
(3)由,即,即
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