高考数学专题―数学思想方法3

换元法及待定系数法

解数学问题时，通过一个或几个新变量代替原来的变量，使得代换后的问题中仅含这些新变量的方法称之为换元法。用这种方法解题的目的是变量研究，其实质是移问题至新对象的知识背景中去研究，达到化难为易，化繁为简的目的。

待定系数法的实质是方程的思想，把待定的未知数与已知数等同看待列式即得方程。

第一讲  换元法

例1、已知，求的最值。

分析：请看下面解法：

∵ ，

∴ 

得 的最大值为21，无最小值。

思考：上面解法是否正确？

正确解法：

解：由题意得：

故可设 ，

∵

∴当时，有最大值 ；

  当时，有最小值 ；

例2、已知，求的最值；

 解：可化为：

         即 

         设

         ∴

∵

∴当 时，有最大值25；

当 时，在最小值 ；

例3、已知，，，求的值。

[分析] 此题条件中，的含义是，

，显然，按此递推公式求出，计算量较大，仔细观察条件中，的形式与正切的倍角公式相近。由此可得解法。

解：设 ，

∵

∴

┄┄┄┄┄

例4、在曲线：上求一点，使它到直线的距离取最小值。

解： ∵

设  ， 

则 

又设

则点在曲线上，到直线的距离为

∵ ，∴

∴  ，

∴ 当时，有最小值2 ；

由及，得

∴ 当点坐标为 时， 到直线的距离最小，最小值为2 ；

例5、已知集合，，

求集合；

解：令，

  则可设，，

  ∴

，

关于的二次方程有实根的充要条件是

又∵

∴

∵

∴

解得；， ， ，

∴ 原方程为

∴

∴ 所求集合

练    习

1、已知，那么的值域是                     ；

2、设实数满足，则的取值范围是                          ；

3、设，求函数的最小值；

4、设，求证：，；

5、已知，且，求的最大值与最小值；

第二讲 待定系数法

例1、已知方程有一个根是解这个方程；

[分析] 根据实系数方程虚根成对原理，必有另一个根是，故方程等价于

 ，其中待定，求出后就可求同另二个根。

解： 设

   令得,   令得；

   ∴,解得：，

   ∴原方程的根为。

例2、已知一个共100项的等比数列的前项的和，

     若，求所有适合等式的值的和；

[分析] 中含有两个字母，直觉告诉我们，去确定之值，是解题中重要的环节。

解： ∵ 

又 是等比数列，

∴ ，又由知，

∴  ， ，

又 ， 

由得：

∴ ，

∴

∴ ，

∴

例3、曲线：的图象与曲线：的图象关于点对称，求的值；

解：设是上任意一点，是关于对称的上的点，

则有

 ，

∴ ，

即          ①

①与应为同一方程，

即

比较系数得。

例4、设为常数，，，且方程有等根，

求之值；

若，求使成立的值；

解：由得 , 即 ，

又  ，故  ，

因此  或

方程有等根   ，故 ；

 ∵  ，

又  ，

∴且 ，

因此，将与代入得。

练 习

1、已知无穷等比数列前项和为，则所有项和等于  

A、        B、    1       C、          D、  任意实数

2、满足< 500的的最大正整数是

A、  4         B、    5       C、   6        D、  7

3、在直角坐标系内有两点、，点在抛物线上，为抛物线的焦点，若，则的值为

A、        B、          C、    1       D、   不能确定

4、如果恒等式成立，则           ；        ；

5、若方程的图象是两条直线，则                 ；

6、函数的最大值为，最小值为，则的周期是                                       ；

7、已知函数的最大值为7，最小值为，求此函数的解析式；

8、已知抛物线，对任意实数均过定点，  求实数之值；  求抛物线焦点到准线距离的最大值；