面积问题和面积方法

基础知识

1．面积公式

由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用．

设△，分别为角的对边，为的高，、分别为△外接圆、内切圆的半径，．则△的面积有如下公式：

（1）；

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

2．面积定理

（1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和；

（2）两个全等形的面积相等；

（3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等；

（4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比；

（5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方；

（6）共边比例定理：若△和△的公共边所在直线与直线交于，则；

（7）共角比例定理：在△和△中，若或，则．

3．张角定理：如图，由点出发的三条射线，设，，，则三点共线的充要条件是：

．

例题分析

例1．梯形的对角线相交于，且，，求

例2．在凸五边形中，设，求此五边形的面积．

例3．是△内一点，连结并延长与分别交于，△、△、△的面积分别为40，30，35，求△的面积．

例4．分别是△的边和上的点，且，求△的面积的最大值．

例5．过△内一点引三边的平行线∥，∥，∥，点都在△的边上，表示六边形的面积，表示

△的面积．求证：．

例6．在直角△中，是斜边上的高，过△的内心与△的内心的直线分别交边和于和，△和△的面积分别记为和．求证：．

例7．锐角三角形中，角等分线与三角形的外接圆交于一点，点、与此类似，直线与、两角的外角平分线将于一点，点、与此类似．求证：

（1）三角形的面积是六边形的面积的二倍；

（2）三角形的面积至少是三角形的四倍．

例8．在△中，将其周长三等分，且在边上，求证：．

例9．在锐角△的边边上有两点、，满足，作，（是垂足），延长交△的外接圆于点，证明四边形与△的面积相等．

三．面积的等积变换

等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题．

例10．凸六边形内接于⊙，且，，求此六边形的面积．

例11．已知的三边，现在上取，在延长线上截取，在上截取，求证：．

例12．在内，且∽，求征：

例13．在的三边上分别取点，使，，连相交得三角形，已知三角形的面积为13，求三角形的面积．

例14．为圆内接四边形的边的中点，于，于，于，求证：平分．

例15．已知边长为的，过其内心任作一直线分别交于点，求证：．

例16．正△正△，，，，，

，．求证：．

例17．在正内任取一点，设点关于三边的对称点分别为，则相交于一点．

例18．已知是正六边形的两条对角线，点分别内分，且使，如果三点共线，试求的值．

例19．设在凸四边形中，直线以为直径的圆相切，求证：当且仅当∥时，直线与以为直径的圆相切．

训练题

1．设的面积为10，分别是边上的点，且若，求的面积．

2．过内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为，求三角形的面积．

3．在的三边上分别取不与端点重合的三点，求证：，中至少有一个的面积不大于的面积的．

4．锐角的顶角的平分线交边于，又交三角形的外接圆于，过作和边的垂线和,垂足是，求证：四边形的面积等于的 面积．

5．在等腰直角三角形的斜边上取一点，使，作交于，求证：．

6．三条直线互相平行，在的两侧，且间的距离为，间的距离为1，若正的三个顶点分别在上，求正的边长．

7．已知及其内任一点，直线分别交对边于（），证明：在这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2．

8．点和分别在的边和上，点和将线段分为三等分，直线和分别与边相交于点和，证明：．

9．已知P是内一点，延长分别交对边于，其中，，且，求之值．

10．过点P作四条射线与直线分别交于和，求证：

．

11．四边形的两对对边的延长线分别交，过作直线与对角线的延长线分别，求证：．

12．为的重心，过作直线交于，求证：．