秘密★启用前
2008年广州市高三教学质量抽测试题
数 学（文科）
2008．1
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答选择题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考试科目填写在答题卡上，并用2B铅笔将相应的信息点涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
锥体的体积公式
，其中
是锥体的底面积，
是锥体的高．
如果事件
、
互斥，那么
．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合
的真子集的个数为
A．6
B．
2．不等式
的解集是
A．
B．
C．
D．
3．函数
的一个单调递增区间为
A．
B．
C．
D．
4．已知等比数列
的前三项依次为
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
5．抛物线
上一点
到焦点的距离为3，则点的横坐标
A．1
B．
6．设复数
满足
，则
A．
B．
C．
D．
7．已知向量
，
，若
，则
A．
B．
C．1 D．3
8．如图1所示，是关于闰年的流程，则以下年份是
闰年的为
A．1996年
B．1998年
C．2010年
D．2100年
9．已知
，
是平面，
，
是直线，给出下
列命题
①若
，
，则
．
②若
，
，
，
，则
．
③如果
、n是异面直线，那么
相交．
④若
，∥，且
，则∥且∥．
其中正确命题的个数是
A．4 B．
10．函数
，若
（其中
、
均大于２），则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．
11．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了95人，则该校的女生人数应是 人．
12．已知双曲线
的离心率为2，则实数
．
13．如图2所示，函数
的图象在点P处的切线方程是
，则
，
．
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点
到直线
的距离为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图3所示，
与
是
的直径，
，
是延长线上一点，连
交于点
，连
交于点
，若
，则
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12．
（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率；
（2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.
17．（本小题满分12分）
在△
中，角
所对的边分别为
，已知
，
，
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
18．（本小题满分14分）
如图4所示，四棱锥
中，底面
为正方
形，
平面，
，，，
分
别为、
、
的中点．
（1）求证：
平面
；
（2）求三棱锥
的体积．
19．（本小题满分14分）
已知曲线
上任意一点到两个定点
和
的距离之和为4．
（1）求曲线的方程；
（2）设过
的直线
与曲线交于
、
两点，且
（
为坐标原点），求直线的方程．
20．（本小题满分14分）
设函数
（1）求函数
的极大值；
（2）若
时，恒有
成立（其中
是函数
的导函数），试确定实数a的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知数列
中，
，
，其前项和
满足
（
，
）．
（1）求数列的通项公式；
（2）设
为非零整数，），试确定
的值，使得对任意，都有
成立．
2008年广州市高三教学质量抽测
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
C
B
A
D
A
C
B
10．方法1：由
，得
，
即
．
于是
，
所以
．
方法2：由，得，
即．
于是
，
则
（其中
），再利用导数的方法求解．
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共5小题，每小题5分，满分20分．
11．760 12．12
13．3；－1
14．
15．3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查互斥事件等基础知识，考查运算求解能力）
解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件，“甲射击一次，命中7环”为事件，由于在一次射击中，与不可能同时发生，故与是互斥事件，
（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为
，
由互斥事件的概率加法公式，
．
答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22．…………………………………6分
（2）方法1：记“甲射击一次，命中8环”为事件
，“甲射击一次，命中9环（含9环）以上”为事件
，则“甲射击一次，至少命中7环”的事件为
，
∴
．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．…………………………………12分
方法2：∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件
，
∴
=1－0.1＝0.9．
答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．…………………………………12分
17．（本小题满分12分）
（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基础知识，考查运算求解能力）
解：（1）由余弦定理，
，………………………………………2分
得
，…………………………………………………4分
．……………………………………………………………………………6分
（2）方法1：由余弦定理，得
，………………………………8分
，………………………10分
∵是
的内角，
∴
．………………………………………………………12分
方法2：∵
，且是的内角，
∴
．………………………………………………………8分
根据正弦定理，
，……………………………………………………10分
得
． ……………………………………………12分
18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间中线面关系，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力）
（1）证法1：如图，取
的中点
，连接
，
∵
分别为
的中点，∴
．
∵
分别为
的中点，∴
．
∴
．
∴
四点共面．………………………………………………………………2分
∵
分别为
的中点，∴
．……………………………………4分
∵
平面
，
平面，
∴
平面．……………………………………………………………………6分
证法2：∵
分别为
的中点，
∴，
．……………………………………………………………2分
∵
，∴
．
∵
，
，∴平面
平面
． …………………5分
∵
平面，∴平面． …………………………………………6分
（2）解：∵
平面
，
平面，∴
．
∵为正方形，∴
．
∵
，∴
平面
．……………………………………………8分
∵
，
，∴
．……………10分
∵
，
∴
．…………………………………14分
19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆方程的定义等基础知识，考查分类与整合、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力）
解：（1）根据椭圆的定义，可知动点
的轨迹为椭圆，………………………………1分
其中
，
，则
．………………………………………2分
所以动点M的轨迹方程为
．………………………………………………4分
（2）当直线
的斜率不存在时，不满足题意．………………………………………5分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，设
，
，
∵
，∴
．……………………………………………7分
∵
，
，
∴
．
∴ 
．………… ① …………………………9分
由方程组
得
．…………………………………………………11分
则
，
，
代入①，得
．
即
，解得，
或
．………………………………………………13分
所以，直线的方程是
或
．………………………………14分
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数与导数的概念、不等式及其性质等基础知识，考查分类讨论、化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、逻辑推理能力、运算求解能力和创新意识）
解：（1）∵
，且
，…………………………………1分
当
时，得
；当
时，得
；
∴
的单调递增区间为
；
的单调递减区间为
和
．…………………………………3分
故当
时，有极大值，其极大值为
． …………………4分
（2）∵
，
当
时，
，
∴
在区间
内是单调递减．…………………………………………6分
∴
．
∵
，∴
此时，
．…………………………………………………………………………9分
当
时，
．
∵，∴
即
……11分
此时，
．……………………………………………………………13分
综上可知，实数
的取值范围为
．…………………………………14分
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等差数列、不等式及其性质等基础知识，考查分类讨论、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力）
解：（1）由已知，
（
，
）， …………………2分
即
（，），且
．
∴数列
是以
为首项，公差为1的等差数列．
∴
．……………………………………………………………………………4分
（2）∵，∴
，要使
恒成立，
∴
恒成立，
∴
恒成立，
∴
恒成立．……………………………………………………………6分
（?）当
为奇数时，即
恒成立，…………………………………………7分
当且仅当
时，
有最小值为1，
∴
．………………………………………………………………………………9分
（?）当为偶数时，即
恒成立，………………………………………10分
当且仅当
时，
有最大值
，
∴
．……………………………………………………………………………12分
即
，又
为非零整数，则
．
综上所述，存在，使得对任意，都有
．…………………14分