秘密★启用前
2008年广州市高三教学质量抽测试题
数 学（理科）
2008．1
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答选择题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考试科目填写在答题卡上，并用2B铅笔将相应的信息点涂黑．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么
．
如果事件、相互独立，那么
．
如果事件在一次试验中发生的概率是
，那么在
次独立重复试验中恰好发生
次的概率
．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合
的真子集的个数为
A．6
B．
2．不等式
的解集是
A．
B．
C．
D．
3．函数
的一个单调递增区间为
A．
B．
C．
D．
4．设复数
满足
，则
A．
B．
C．
D．
5．已知向量
，
，若
，则
A．
B．
C．1 D．3
6．如图1所示，是关于判断闰年的流程图，则以
下年份是闰年的为
A．1996年
B．1998年
C．2010年
D．2100年
7．已知
，
是平面，
，
是直线，给出下
列命题
①若
，
，则
．
②若
，
，
，
，则
．
③如果
、n是异面直线，那么
相交．
④若
，∥，且
，则∥且∥．
其中正确命题的个数是
A．4 B．
8．函数
，若
（其中
、
均大于２），则
的最小值为
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题得分．
9．某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人．
10．已知等比数列
的前三项依次为
，
，
，则
．
11．抛物线
上一点
到焦点的距离为3，则点的横坐标
．
12．已知
的展开式中的常数项为
，
是以为周期的偶函数，且当
时，
，若在区间
内，函数
有4个零点，则实数
的取值范围是 ．
13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点
到直线
的距离为 ．
14．（不等式选讲选做题）不等式
的解集
是 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图2所示，
与
是
的直径，
，
是延长线上一点，连
交于点
，连
交于点
，若
，则
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
在△
中，角
所对的边分别为
，已知
，
，
．
（1）求
的值；
（2）求
的值．
17．（本小题满分12分）
已知射手甲射击一次，击中目标的概率是．
（1）求甲射击5次，恰有3次击中目标的概率；
（2）假设甲连续2次未击中目标，则中止其射击，求甲恰好射击5次后，被中止射击的概率．
18．（本小题满分14分）
如图3所示，四棱锥
中，底面
为正方形，
平面，
，，，
分别为
、
、
的中点．
（1）求证：
；
（2）求二面角D－FG－E的余弦值．
19．（本小题满分14分）
设函数
．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于
的方程
在区间
内恰有两个相异的实根，求实数
的取值范围．
20．（本小题满分14分）
已知点
的坐标分别是
，
，直线
相交于点M，且它们的斜率之积为
．
（1）求点M轨迹
的方程；
（2）若过点
的直线
与（1）中的轨迹交于不同的两点、（在
、之间），试求
与
面积之比的取值范围（
为坐标原点）．
21．（本小题满分14分）
已知数列
中，
，
，其前项和
满足
（
，
）．
（1）求数列的通项公式；
（2）设
为非零整数，），试确定
的值，使得对任意，都有
成立．
2008年广州市高三教学质量抽测
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
C
D
A
D
A
C
B
８．方法1：由
，得
，
即
．
于是
，
所以
．
方法2：由，得，
即．
于是
，
则
（其中
），再利用导数的方法求解．
二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共7小题，每小题5分，满分30分．
9．760 10．
11．2 12．
13．
14．
15．3
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（本小题主要考查正弦定理、余弦定理、解三角形等基础知识，考查运算求解能力）
解：（1）由余弦定理，
，………………………………………2分
得
，…………………………………………………4分
．……………………………………………………………………………6分
（2）方法1：由余弦定理，得
，………………………………8分
，………………………10分
∵
是
的内角，
∴
．………………………………………………………12分
方法2：∵
，且是的内角，
∴
．………………………………………………………8分
根据正弦定理，
，……………………………………………………10分
得
． ……………………………………………12分
17．（本小题满分12分）
（本小题主要考查独立重复试验等基础知识，考查或然与必然的数学思想与方法，以及运算求解能力）
解：（1）设“甲射击5次，恰有3次击中目标”为事件A，则
．
答：甲射击5次，恰有3次击中目标的概率为
．………………………………6分
（2）方法1：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则
．
答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为
．……………………………12分
方法2：设“甲恰好射击5次后，被中止射击”为事件C，由于甲恰好射击5次后被中止射击，所以必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次与第二次至少有一次击中目标，则
．
答：甲恰好射击5次后，被中止射击的概率为．……………………………12分
18．（本小题满分14分）
（本小题主要考查空间中线面关系，二面角及其平面角、坐标方法的运用等基础知识，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力）
（1）证法1：∵
平面
，
平面，∴
．
又为正方形，∴
．
∵
，∴
平面
．……………………………………………3分
∵
平面，∴
．
∵
，∴
．…………………………………………………………6分
证法2：以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
．
…………………………………………………4分
∵
，
∴．………………………………………6分
（2）解法1：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，，
，，
，，
．………………………………8分
设平面DFG的法向量为
，
∵
令
，得
是平面
的一个法向量．…………………………10分
设平面EFG的法向量为
，
∵
令
，得
是平面
的一个法向量．……………………………12分
∵
．
设二面角
的平面角为θ，则
．
所以二面角的余弦值为
．………………………………………14分
解法2：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
，．………………………………8分
过作
的垂线，垂足为
，
∵
三点共线，∴
，
∵
，∴
，
即
，解得
．
∴
．…………10分
再过
作的垂线，垂足为
，
∵
三点共线，∴
，
∵
，∴
，
即
，解得
．
∴
．……………………………………………12分
∴
．
∵
与
所成的角就是二面角的平面角，
所以二面角的余弦值为．………………………………………14分
19．（本小题满分14分）
（本小题主要考查函数、微积分基本定理和导数的应用，考查综合运用数学知识分析和解决问题的能力）
解：（1）函数
的定义域为
，…………………………………………………1分
∵
，………………………………………2分
∵
，则使
的
的取值范围为
，
故函数的单调递增区间为． ……………………………………………4分
（2）方法1：∵
，
∴
．…………………………6分
令
，
∵
，且，
由
．
∴
在区间
内单调递减，在区间
内单调递增，……………………9分
故
在区间
内恰有两个相异实根
……12分
即
解得：
．
综上所述，
的取值范围是
．………………………………14分
方法2：∵，
∴．…………………………6分
即
，
令
，
∵
，且，
由
．
∴
在区间内单调递增，在区间内单调递减．……………………9分
∵
，
，
，
又
，
故在区间内恰有两个相异实根
．
……………………………………12分
即．
综上所述，的取值范围是． ……………………………14分
20．（本小题满分14分）
（本小题主要考查椭圆的概念、椭圆的方程等基础知识，考查待定系数法、数形结合的数学思想与方法，以及运算求解能力）
解：（1）设点的坐标为
，
∵
，∴
． ………………………………………2分
整理，得
（
），这就是动点M的轨迹方程．……………………4分
（2）方法1：如图，由题意知直线
的斜率存在，
设的方程为
（
） …… ①…………………………………5分
将①代入
，
得
，
………………6分
由
，解得
．…………………………………………………………7分
设
，
，则
…… ② ……………………8分
令
，则
，即
，即
，且
……………………9分
由②得，
即
．……………………………………………11分
且
且
．
解得
且
………………………………………………13分
，
且．
∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是
．……………14分
方法2：如图，由题意知直线的斜率存在，
设的方程为
…… ①…………5分
将①代入，
整理，得
，…………6分
由，解得
．………………………………………………………………7分
设，，则
…… ② ……………………8分
令
，且
．…………………………………9分
将
代入②，得
∴
．即
．……………………………………11分
∵且
，∴
且
．
即
且．
解得且．……………………………………………13分
，且．
故△OBE与△OBF面积之比的取值范围是．……………14分
21．（本小题满分14分）
（本小题主要考查等差数列、不等式及其性质等基础知识，考查分类讨论、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力）
解：（1）由已知，
（
，
）， …………………2分
即
（，），且
．
∴数列
是以
为首项，公差为1的等差数列．
∴
．……………………………………………………………………………4分
（2）∵，∴
，要使
恒成立，
∴
恒成立，
∴
恒成立，
∴
恒成立．……………………………………………………………6分
（?）当为奇数时，即
恒成立，…………………………………………7分
当且仅当
时，
有最小值为1，
∴
．………………………………………………………………………………9分
（?）当为偶数时，即
恒成立，………………………………………10分
当且仅当
时，
有最大值
，
∴
．……………………………………………………………………………12分
即
，又
为非零整数，则
．
综上所述，存在，使得对任意，都有
．…………………14分