甘肃省西北师大附中2009届高三5月最后一考
数学理科
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．如果复数
，则
的展开式（按
的升幂排列）的第5项是( )
A ．35 B．
C．
D．
3.已知
为偶函数，且
，当
时，
，若
则
（ ）
A．
B．
C． D．
4．已知
，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数
的周期为
B．函数
的最小值为
C．将
的图象向左平移
单位后得
的图象
D．将的图象向右平移单位后得的图象
5．设斜率为的直线
与椭圆
交于不同的两点。且这两点在
轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C．
D．
6.在样本的频率分布直方图中，共有
个小长方形，若其中一个小长方形的面积等于其他
个小长方形面积和的四分之一，样本容量为
，则该小长方形这一组的频数为(
)
A．32 B．
7． 已知函数
在
上单调递减，那么实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如右图所示的几何体ABCDEF中，ABCD是平行四边形且AE∥CF，
六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是( )
A．36 B．28 C．39 D．20
9. 设实数满足
，则有（
）
A．
B．
C．
D．
10．在平面直角坐标系中，已知点
，如果动点P满足
，
那么
的最大值是（ ）
A．
B．1 C． D．
11.若
条件满足
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12. 已知
在区间
上是减函数，那么
（ ）
A．有最大值
B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．不等式(x－1)|x2－2x－3|≥0的解集为_________．
14．霓红灯的一个部位由七个小灯泡组成，如图：○○○○○○○，每个灯泡均可亮出红色或黄色，现设计每次变换只闪亮其中三个灯泡，且相邻两个不同时亮，则一共可呈现____________种不同的变换形式．(用数字作答)
15．已知
的三个顶点在同一球面上，
若球心
到平面
的距离为1，则该球的半径
16．已知
且关于的函数
在
上有极值，则
的夹角范围为
答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
题号
13
14
15
16
答案
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知为坐标原点，
⑴求的单调递增区间；
⑵若的定义域为
，值域为
，求
的值
18.（本小题满分10分）从北京到西安的某三列火车正点到达的概率分别为
。求
⑴这三列火车恰有两列正点到达的概率；
⑵这三列火车正点到达列数
的数学期望
19．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P―ABCD的底面是直角梯形，
，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面
底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E.
（1）求证：
；（2）求二面角
的大小；
（3）求证：平面
平面PAB.
20.(本题满分12分)
设
是正数组成的数列，其前
项和为
，并且对于所有的正整数，
与
的等差中项等于与的等比中项，
Ⅰ求数列的通向公式；
Ⅱ 令
，求
21. （本小题满分13分）
如图，已知双曲线C：
的右准线
与一条渐近线
交于点M，F是双曲线C的右焦点，O为坐标原点.
（I）求证：
；
（II）若
且双曲线C的离心率
，求双曲线C的方程；
（III）在（II）的条件下，直线
过点A（0，1）与双曲线C右支交于不同的两点P、Q且P在A、Q之间，满足
，试判断
的范围，并用代数方法给出证明.
22. （本小题满分13分）
已知函数
为实常数。
⑴若在
上是单调函数，求的取值范围
⑵当
时，求的最小值；
⑶设各项均为正数的无穷数列
满足
,证明：
一、A；A；C；D；A；A； C；C；B； D；C；A
二、13、
或
； 14、80； 15、
；16、
；
17、解：⑴
………………………………………3分
时，由
得函数的递增区间为
时，由
得函数的递增区间为
…………………………………………5分
⑵
……………………………………………7分
时，
得：
（舍）
时，
得
综上，
……………………………………………………10分
18、解：用
分别表示三列火车正点到达的事件，则
⑴恰有两列火车正点到达的概率记为
,则
……………………………………………4分
⑵三列火车正点的列数分别为
。则
……………………………………………………………8分
…………………………10分
19．解：方法一：（I）证明：
，
又
平面
平面ABCD，平面
平面ABCD＝BC，
平面ABCD ……2分
在梯形ABCD中，可得
，即
在平面ABCD内的射影为AO，
……4分
（II）解：
，且平面平面ABCD
平面PBC， 
平面PBC，
为二面角P―DC―B的平面角 ……6分
是等边三角形
即二面角P―DC―B的大小为
…8分
（III）证明：取PB的中点N，连结CN，
①
，且平面平面ABCD，
平面PBC ……10分
平面PAB 
平面平面PAB ②
由①、②知
平面PAB…………..10分
连结DM、MN，则由MN//AB//CD，
，
得四边形MNCD为平行四边形，
，
平面PAB．
平面PAD 平面
平面PAB ……………….12分
方法二：取BC的中点O，因为
是等边三角形，
由侧面底面ABCD 得
底面ABCD ……1分
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O―xyz……2分
（I）证明：
，则在直角梯形中，
在等边三角形PBC中，
……3分
，即
…4分
（II）解：取PC中点N，则
平面PDC，显然
，且
平面ABCD
所夹角等于所求二面角的平面角 ……6分
，二面角
的大小为 ……8分
（III）证明：取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为
又
……10分
，
即
平面PAB，平面平面PAB ……12分
20．解：Ⅰ由已知得：
……………………………………2分
当
解得：
…………………………………………3分
当
时，
，带入上式得：
配方得：
所以
……………………………………………5分
所以
……………………………………7分
Ⅱ
………………………………………………………………9分
…………………11分
…………………………………………………………12分
21．解：（I）右准线
，渐近线
，
……3分
（II）
双曲线C的方程为：
……7分
（III）由题意可得
……8分
证明：设
，点
由
得
与双曲线C右支交于不同的两点P、Q
……11分
，得
的取值范围是（0，1） ……13分
22．解：⑴
；
当
时，
；
令
，该二次函数的对称轴为
当时，设，
，则
；
当时，要使
在
上是单调函数，只能为上的减函数
故函数在上满足：
或
，解得
。综上
…………5分
⑵当时，
；
当
；当
所以
…………………………………………………8分
⑶反证法：不妨设
，由⑵知
所以
所以
所以
；
因为
时，
这与上面的结论矛盾，故
同理
……………………………………………13分