2009年西安市高中三年级第三次质量检测试题
数学（理）
说明：①本试题分第I卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
②本试题满分为150分，考试时间为120分钟。
③本题（卷）共4页。1―2页选择题，3―4页为非选择题。
④请考生务必在答题卡上答题，考试结束后，监考老师只收答题卡。
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么
如果事件、互相独立，那么
如果事件在一次实验中发生的概率是
，那么
次独立重复实验中恰好发生
次概率
。
正棱锥、圆锥的侧面积公式
锥侧
其中
表示底面周长，
表示斜高或母线长
球的体积公式
其中
表示球的半径
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．定义集合
，
之间的
运算为：
，若
，则集合
中的元素个数是
A．4
B．
2．已知复数
则
=
A．
B．
C．
D．
3．已知数列
为等差数列，且
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
4．若
的二项展开式中
的系数为
，则
A．
B．
5．一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处晚
，现测得、两地相距
为
轴，以线段的中垂线为
轴建立直角坐标系，则爆炸点所在的曲线方程为
A．
B．
C．
D．
6．将函数
图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的
倍，得函数
的图象，再将函数的图象按照向量
平移，即得函数
=的图象，再将函数的图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，即得函数
+1的图象，则向量的坐标可以为
A．
B．
C．
D．
7．已知函数
的反函数是
，则函数的图象是
A B C D
8．已知
，则向量
在向量
上的投影为
A．
B．
C．
D．
9．若
在点
处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
10．顶点在同一球面上的正四棱柱
中，
，则
两点间的球面距离为
A．
B．
C．
D．
11．已知函数
，且
则
等于
A．0
B．
12．对于集合
，称
为开集，当且仅当任意
，存在正数
，使得
，已知集合
，
，则
A．是开集，
不是开集
B．不是开集，是开集
C．和都是开集
D．和都不是开集
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题有4个小题，每小题4分，共16分；把答案填在答题卡横线上。
13．
_______________。
14．若实数
满足不等式组
，则
的最大值为__________。
15．某班级要从6名男生、4名女生中选派6人参加某次社区服务，要求女生甲、乙要么都参加、要么都不参加，同时要求至少有一名女生参加，那么不同的选派方案种数为_________（用数字作答）
16．
、
是两个实数，给出下列条件：①
；②
③
④
；⑤
。其中能腿出“、中至少有一个数大于
三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤，
17．（本小题满分12分）
在
中，已知内角
，边
，设内角
的面积为
（I）求函数
=的解析式和定义域；
（Ⅱ）求的最大值。
18．（本题满分12分）
一对外国夫妇携带有白化病遗传基因，已知他们生出的小孩患有白化病的概率为
，不患此病的概率为
他们生的孩子是男孩或女孩的概率均为，现在已知该夫妇有三个孩子。
（I）求三个孩子是同新别的且都患病的概率
（结果用最简分数表示）；
（Ⅱ）设三个孩子中，患病男孩的人数为
，求随机变量的分布列以及期望（结果用最简分数表示）
19．（本题满分12分）
如图，正三棱柱
中，
是
的中点，
（I）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值。
]
20．（本题满分12分）
已知函数
在
上是增函数
（I）求实数的取值范围；
（Ⅱ）设
其中
，求函数
的最小值。
21．（本题满分12分）
设直线
与椭圆
相切。
（I）试将
用
表示出来；
（Ⅱ）若经过动点
可以向椭圆引两条互相垂直的切线，
为坐标原点，求证：
为定值。
22．（本题满分14分）
已知各项全不为零的数列的前
项和为
，
（I）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）若
，求证：对任意的正整数，不等式
恒成立。
2009年西安市高三年级第三次质量检测试题
数学（理）
第I卷（共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
C
C
A
A
A
A
D
B
A
A
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．
14．3 15．97 16．③
三、解答题（共74分）
17．（本小题满分12分）
（I）
的内角和
。
，
（Ⅱ）
当
即
时，
取最大值
18．（本题满分12分）
记A：该夫妇生一个小孩是患病男孩，B：该夫妇生一个小孩是患病女孩：C：该夫妇生一个小孩是不患病男孩；D：该夫妇生一个小孩是不患病女孩，则
（I）
（Ⅱ）显然，
的取值为0，1，2，3
所以的分布列为
0
1
2
3
显然，
，故
19．（本题满分12分）
解法一：（I）证明：连接
，设
，连接DE
三棱柱
是正三棱柱，且
，
四边形
是正方形，
∴E是的中点，又
是
的中点，
∴
∵
平面
平面
，
∴
平面
（Ⅱ）解：在平面
内作
于点
，在面
；内作
于
连接
。
∵平面
平面，∴
平面，
∵
是在平面上的射影，
∴
是二面角
的平面角
设
在正中，
在
中，
在
中，
从而
所以，二面角的平面角的余弦值为
解法二：建立空间直角坐标系
，如图，
（I）证明：连接
设
，连接
，设
则
平面平面
平面
（Ⅱ）解：∵
设
是平面的法向量，则
，且
故
，取
，得
；
同理，可求得平面
的法向量是
设二面角的大小为
，则
所以，二面角的平面角的余弦值为
20．（本题满分12分）
（I）
在
上是增函数，
在上恒成立，即
恒成立。
（当且仅当
时，等号成立），
所以
（Ⅱ）设
，则
（1）当
时，
最小值为
；
（2）当
时，最小值为
21．（本题满分12分）
（I）将
代入
得
，整理得
由
得
，故
（Ⅱ）当两条切线的斜率都存在而且不等于
时，设其中一条的斜率为k，
则另外一条的斜率为
于是由上述结论可知椭圆斜率为k的切线方程为
①
又椭圆斜率为的切线方程为
②
由①得
由②得
两式相加得
于是，所求P点坐标
满足
因此，
当一条切线的斜率不存在时，另一条切线的斜率必为0，此时显然也有
所以
为定值。
22．（本题满分14分）
（I）由
知
当
时，
，化简得
①
以
代替得
②
两式相减得
则
，其中
所以，数列
为等差数列
（Ⅱ）由
，结合（I）的结论知
于是不等式
因此，欲证原不等式成立，只需证
即
令
，则
在
上恒正，
在上单调递增，当
时，恒有
其他解法参照以上评分标准评分
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