2009年西安市高中三年级第三次质量检测试题
数学（文）
说明：①本试题分第I卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
②本试题满分为150分，考试时间为120分钟。
③本题（卷）共4页。1―2页选择题，3―4页为非选择题。
④请考生务必在答题卡上答题，考试结束后，监考老师只收答题卡。
参考公式：
如果事件
、
互斥，那么
如果事件、互相独立，那么
如果事件在一次实验中发生的概率是
，那么
次独立重复实验中恰好发生
次概率
。
正棱锥、圆锥的侧面积公式
锥侧
其中
表示底面周长，
表示斜高或母线长
球的体积公式
其中
表示球的半径
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．定义集合
，
之间的
运算为：
，若
，则集合
中的元素个数是
A．4
B．
2．
是
的
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．将函数
的图象按照
平移后，所得图象对应的函数表达式为
A．
B．
C．
D．
4．已知非零向量
不共线，且
，则实数k的值为
A．2
B．
C．
D．
5．一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处晚
，现测得、两地相距
为
轴，以线段的中垂线为
轴建立直角坐标系，则爆炸点所在的曲线方程为
A．
B．
C．
D．
6．已知函数
的反函数是
，则函数的图象是
A B C D
7．圆
在点
处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
8．若
的二项展开式中
的系数为
，则
A．2 B．1
C．3
D．
9．已知数列
为等差数列，且
，则
的值为
A．
B．
C．
D．
10．顶点在同一球面上的正四棱柱
中，
，则
两点间的球面距离为
A．
B．
C．
D．
11．已知函数
，且
则
等于
A．0
B．
12．对于集合
，称
为开集，当且仅当任意
，存在正数
，使得
，已知集合
，
，则
A．是开集，
不是开集
B．不是开集，是开集
C．和都是开集
D．和都不是开集
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题有4个小题，每小题4分，共16分；把答案填在答题卡横线上。
13．函数
的定义域为____________。
14．若实数
满足不等式组
，则
的最大值为__________。
15．某班级要从6名男生、4名女生中选派6人参加某次社区服务，要求女生甲、乙要么都参加、要么都不参加，同时要求至少有一名女生参加，那么不同的选派方案种数为_________（用数字作答）
16．设
、
是两个实数，给出下列条件：①
；②
③
④
；⑤
。其中能腿出“、中至少有一个数大于
三、解答题：本大题共6个小题，满分74分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤。
17．（本小题满分12分）
在
中，已知内角
，边
，设内角
，的面积为
（I）求函数
的解析式和定义域；
（Ⅱ）求的最大值。
18．（本题满分12分）
一对外国夫妇携带有白化病遗传基因，已知他们生出的小孩患有白化病的概率为
，不患此病的概率为
他们生的孩子是男孩或女孩的概率均为，现在已知该夫妇有三个孩子。
（I）求三个孩子是同性别的且都患病的概率
（结果用最简分数表示）；
（Ⅱ）求三个孩子中有两个是患病男孩，一个是患病女孩的概率
（结果用最简分数表示）；
19．（本题满分12分）
如图，正三棱柱
中，
是
的中点，
（I）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的平面角的余弦值。
20．（本题满分12分）
已知函数
在
处取得极值
（I）讨论
和
是函数
的极大值还是极小值；
（Ⅱ）过点
作曲线的切线，求此切线方程。
21．（本题满分12分）
设直线
与椭圆
相切。
（I）试将
用
表示出来；
（Ⅱ）若经过动点
可以向椭圆引两条互相垂直的切线，
为坐标原点，求证：
为定值。
22．（本题满分14分）
已知各项全不为零的数列的前
项和为
，
（I）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）若
，求证：当
时，
2009年西安市高三年级第三次质量检测试题
数学（文）
第I卷（共60分）
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
B
D
B
A
A
D
A
C
B
A
A
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．
14．3 15．97 16．③
三、解答题（共74分）
17．（本小题满分12分）
（I）
的内角和
。
，
（Ⅱ）
当
即
时，
取最大值
18．（本题满分12分）
记A：该夫妇生一个小孩是患病男孩，B：该夫妇生一个小孩是患病女孩：C：该夫妇生一个小孩是不患病男孩；D：该夫妇生一个小孩是不患病女孩，则
（I）
（Ⅱ）该夫妇所生的前两个是患病男孩，后一个患病女孩的概率为
，所以
19．（本题满分12分）
解法一：（I）证明：连接
，设
，连接DE
三棱柱
是正三棱柱，且
，
四边形
是正方形，
∴E是的中点，又
是
的中点，
∴
∵
平面
平面
，
∴
平面
（Ⅱ）解：在平面
内作
于点
，在面
；内作
于
连接
。
∵平面
平面，∴
平面，
∵
是在平面上的射影，
∴
是二面角
的平面角
设
在正中，
在
中，
在
中，
从而
所以，二面角的平面角的余弦值为
解法二：建立空间直角坐标系
，如图，
（I）证明：连接
设
，连接
，设
则
平面平面
平面
（Ⅱ）解：∵
设
是平面的法向量，则
，且
故
，取
，得
；
同理，可求得平面
的法向量是
设二面角的大小为
，则
所以，二面角的平面角的余弦值为
20．（本题满分12分）
（I）
，依题意，
，即
解得
令
，得
或
列表可得：
1
+
0
―
0
+
递增
极大
递减
极小
递增
所以，
是极大值；
是极小值
（Ⅱ）曲线方程为
点
不在曲线上，
设切点为
，则点
的坐标满足
因
，故切线的方程为
注意到点在切线上，有
化简得
，解得
21．（本题满分12分）
（I）将
代入
得
，整理得
由
得
，故
（Ⅱ）当两条切线的斜率都存在而且不等于
时，设其中一条的斜率为k，
则另外一条的斜率为
于是由上述结论可知椭圆斜率为k的切线方程为
①
又椭圆斜率为的切线方程为
②
由①得
由②得
两式相加得
于是，所求P点坐标
满足
因此，
当一条切线的斜率不存在时，另一条切线的斜率必为0，此时显然也有
所以
为定值。
22．（本题满分14分）
（I）由
知
当
时，
，化简得
①
以
代替得
②
两式相减得
则
，其中
所以，数列
为等差数列
（Ⅱ）由
，结合（I）的结论知
于是，
所以，原不等式成立
其他解法参照以上评分标准评分
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