准考证号 姓名
（在此卷上答题无效）
绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A＋B)＝P(A)＋P(B) S＝4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A?B)＝P(A)?P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V＝πR3
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
Pn(k)＝CP (1一P)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．定义集合运算：．设，则集合的所有元素之和为
A．0 B．2 C．3 D．6
3．若函数的值域是，则函数的值域是
A．[，3] B．[2，] C．[，] D．[3，]
4．＝
A． B．0 C．－ D．不存在
5．在数列中，，则＝
A． B． C． D．
6．函数在区间(，)内的图象大致是
A B C D
7．已知是椭圆的两个焦点．满足?＝0的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是
A．(0，1) B．(0，] C．(0，) D．[，1)
8．(1＋)6(1＋)10展开式中的常数项为
A．1 B．46 C．4245 D．4246
9．若，且，则下列代数式中值最大的是
A． B． C． D．
10．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N
③MN的最大值为5 ④MN的最小值为l
其中真命题的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为
A． B． C． D．
12．已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是
A．(0，2) B．(0，8) C．(2，8) D．(－∞，0)
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2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
理科数学
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．
13．直角坐标平面内三点，若为线段的三等分点，则?＝ ．
14．不等式≤的解集为 ．
15．过抛物线的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴左侧)，则＝ ．
16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点．如果将容器倒置，水面也恰好过点 (图2)．有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好
经过点
D．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满
其中真命题的代号是 ．(写出所有真命题的代号) ．
三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中．a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，
a＝2，tan＋tan＝4，sin B sin C＝cos2．求A、B及b、c．
18．（本小题满分12分）
因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令表示方案实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．
（1）写出ξ1、ξ2的分布列；
（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?
（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?
19．（本小题满分12分）
等差数列各项均为正整数，，前项和为，等比数列中，，且，是公比为64的等比数列．
（1）求与；
（2）证明：＋＋……＋＜．
20．（本小题满分12分）
正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度均为2．分别是的中点，是的中点，过的一个平面与侧棱或其延长线分别相交于，已知．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的大小．
21．（本小题满分12分）
设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点(，0)．
（1）过点作直线的垂线，垂足为，试求△的重心所在的曲线方程；
（2）求证：三点共线．
22．（本小题满分14分）
已知函数＝＋＋，x∈(0，＋∞)．
（1）当时，求的单调区间；
（2）对任意正数，证明：．
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
B
A
A
D
C
D
A
C
C
B
1．.因所以对应的点在第四象限，
2．.因，
3．.令，则，
4．.
5. . ，，…，
6．D. 函数
7． .由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则
又,所以
8．. 常数项为
9. A.
10．. 解：①③④正确，②错误。易求得、到球心的距离分别为3、2，若两弦交于，则⊥，中，有，矛盾。当、、共线时分别取最大值5最小值1。
11. . 一天显示的时间总共有种,和为23总共有4种,故所求概率为.
12．. 解：当时，显然不成立
当时，因当即时结论显然成立；
当时只要即可
即
则
二. 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
13. 14. 15. 16. B、D
13. 由已知得,则
14．
15.
16． 解：真命题的代号是： BD 。易知所盛水的容积为容器容量的一半，故D正确，于是A错误；水平放置时由容器形状的对称性知水面经过点P，故B正确；C的错误可由图1中容器位置向右边倾斜一些可推知点P将露出水面。
三. 解答题：本大题共6小题，共74分。
17.解：由得
∴ ∴
∴，又
∴
由得
即 ∴
由正弦定理得
18.解：（1）的所有取值为
的所有取值为,
、的分布列分别为：
0.8
0.9
1.0
1.125
1.25
P
0.2
0.15
0.35
0.15
0.15
0.8
0.96
1.0
1.2
1.44
P
0.3
0.2
0.18
0.24
0.08
（2）令A、B分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，
,
可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大
（3）令表示方案所带来的效益，则
10
15
20
P
0.35
0.35
0.3
10
15
20
P
0.5
0.18
0.32
所以
可见，方案一所带来的平均效益更大。
19．解：（1）设的公差为，的公比为，则为正整数，
，
依题意有①
由知为正有理数，故为的因子之一，
解①得
故
（2）
∴
20．解 ：（1）证明：依题设，是的中位线，所以∥，
则∥平面，所以∥。
又是的中点，所以⊥，则⊥。
因为⊥，⊥，
所以⊥面，则⊥，
因此⊥面。
（2）作⊥于，连。因为⊥平面，
根据三垂线定理知，⊥，
就是二面角的平面角。
作⊥于，则∥，则是的中点，则。
设，由得，，解得，
在中，，则，。
所以，故二面角为。
解法二：（1）以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则
所以
所以
所以平面
由∥得∥，故：平面
(2)由已知设
由与共线得:存在有得
同理:
设是平面的一个法向量,
则令得
又是平面的一个法量
所以二面角的大小为
（3）由（2）知，，，平面的一个法向量为。
则。
则点到平面的距离为
21．证明：（1）设，由已知得到，且，，
从而,解得
因此的方程为：
同理的方程为：
又在上，所以，
即点都在直线上
又也在直线上,所以三点共线
（2）垂线的方程为：，
由得垂足，
设重心
所以 解得
由 可得即为重心所在曲线方程
22．解：、当时，，求得 ，
于是当时，；而当 时，．
即在中单调递增，而在中单调递减．
（2）.对任意给定的，，由 ，
若令 ，则 … ① ，而 … ②
（一）、先证；因为，，，
又由 ，得 ．
所以
．
（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则
（?）、当，则，所以，因为 ，
，此时．
（?）、当 …③，由①得 ,，，
因为 所以 … ④
同理得 … ⑤ ，于是 … ⑥
今证明 … ⑦, 因为 ，
只要证 ，即 ，也即 ，据③，此为显然．
因此⑦得证．故由⑥得 ．
综上所述，对任何正数，皆有．