（Ⅰ）设{a_n}是正数组成的数列，前n项和为S_n，其中a₁=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,S_n）也在y=f′(x)的图象上；

　　（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.

（20）（本小题满分12分）

　　　某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科

　　　目B的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证

　　　书.现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试

　　　成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.

　　（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；

　　（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E.

（21）（本小题满分12分）

　　　如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

　　（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.

（22）（本小题满分14分）

　　　已知函数f(x)=ln(1+x)-x₁

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

　　（Ⅱ）记f(x)在区间（n∈N*）上的最小值为b_x令a_n=ln(1+n)-b_x.

    （Ⅲ）如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；

（Ⅳ）求证：

2008年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数  学（理工类）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

(1)若复数是纯虚数，则实数a的值为

A.1                       B.2                       C.1或2                D.-1

解：由得,且（纯虚数一定要使虚部不为0）

(2)设集合,,那么“mA”是“mB”的

A.充分而不必要条件                       B.必要而不充分条件

C.充要条件                                     D.既不充分也不必要条件

解：由得,可知“”是“”的充分而不必要条件

(3)设｛a_n｝是公比为正数的等比数列，若,则数列前7项的和为

A.63                     B.64                     C.127                    D.128

     解：由及｛a_n｝是公比为正数得公比，所以

(4)函数,若，则的值为

A.3              B.0              C.-1                      D.-2

解：为奇函数，又

故即.

(5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是

A.                 B.        C.                D.

    解：独立重复实验，

(6)如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2,AA₁=1,则BC₁与平面BB₁D₁D所成角的正弦值为  A.                                B.              

         C.                              D.

解：连与交与O点,再连BO,则为BC₁与平面BB₁D₁D所成角.

    ，，

(7)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为

A.14                   B.24                        C.28              D.48

    解：6人中选4人的方案种，没有女生的方案只有一种，

所以满足要求的方案总数有14种

(8)若实数x、y满足   则的取值范围是

A.(0,1)                  B.                C.(1,+)              D.

解：由已知，，又，故的取值范围是

      (9)函数的图象按向量 平移后，得到函数的图象，

则m的值可以为

A.                    B.                            C.－           D.－        

解：,而的图象按向量 平移后

得到,所以，故可以为.

(10)在△ABC中，角ABC的对边分别为a、b、c,若,则角B的值为

A.                    B.             C.或           D. 或

解：  由得即

,又在△中所以B为或

(11)双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F₁、F₂,若P为其上一点，且|PF₁|=2|PF₂|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)           B.          C.(3,+)       D.

解：如图，设，，当P在右顶点处，

∵，∴

另外也可用三角形的两边和大于第三边,及两边差小于第三边,但要注意前者可以取到等号成立,因为可以三点一线. 也可用焦半径公式确定a与c的关系。

    (12) 已知函数的导函数的图象如下图，那么图象可能是

    解：从导函数的图象可知两个函数在处斜率相同,可以排除B答案,再者导函数的函数值反映的是原函数增加的快慢,可明显看出的导函数是减函数,所以原函数应该增加的越来越慢，排除AC,最后就只有答案D了,可以验证y=g(x)导函数是增函数，增加越来越快.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

（13）若,则 (用数字作答)

解：令，令得

    所以

(14) 若直线与圆 （为参数）没有公共点，

则实数m的取值范围是         

解：圆心为，要没有公共点，根据圆心到直线的距离大于半径可得

，即，

（15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是　　　　

解：依题可以构造一个正方体,其体对角线就是外接球的直径.

 ,

（16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈R，都有a+b、a-b， ab、　∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集也是数域.有下列命题：

　　　①整数集是数域；                         ②若有理数集，则数集M必为数域；

③数域必为无限集；                  ④存在无穷多个数域.

其中正确的命题的序号是　　　　.（把你认为正确的命题的序号填填上）

 解：①对除法如不满足，所以排除，

②取,对乘法, ③④的正确性容易推得。

（17）（本小题满分12分）

　　　已知向量m=(sinA,cosA),n=，m?n＝1，且A为锐角.

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）求函数的值域.

解：（Ⅰ） 由题意得 

　　　　　由A为锐角得

　　 （Ⅱ） 由（Ⅰ）知

　　　　　所以

　　　　　因为x∈R，所以，因此，当时，f(x)有最大值.

　　　　　当时，有最小值-3,所以所求函数的值域是

（18）（本小题满分12分）

　　　如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；

（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由.

　解法一：

　　（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,

又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD.

（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC,

有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形，所以OB∥DC.

由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，

所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.

因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1,

所以OB＝，

在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，

在Rt△PBO中，tan∠PBO＝

所以异面直线PB与CD所成的角是.

（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为.

　　　设QD＝x，则，由（Ⅱ）得CD=OB=，

　　　在Rt△POC中，

所以PC=CD=DP,

由V_p-DQC=V_Q-PCD,得2，所以存在点Q满足题意，此时.

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),

    所以

所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，

 (Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，

由(Ⅱ)知

设平面PCD的法向量为n=(x₀,y₀,z₀).

则所以即，

取x₀=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).

设由，得

解y=-或y=(舍去)，此时，

所以存在点Q满足题意，此时.

（19）（本小题满分12分）

　　　已知函数.

　　（Ⅰ）设是正数组成的数列，前n项和为，其中.若点(n∈N*)在函数的图象上，求证：点也在的图象上；

　　（Ⅱ）求函数在区间内的极值.

解：(Ⅰ)证明：  因为所以，

由点在函数的图象上,

，  又

           所以，是的等差数列

          所以,又因为,所以,

          故点也在函数的图象上.

 (Ⅱ)解:,令得.

当x变化时,?的变化情况如下表:

x

(-∞,-2)

-2

(-2,0)

0

(0,+∞)

f′(x)

+

0

-

0

+

f(x)

ㄊ

极大值

ㄋ

极小值

ㄊ

注意到,从而

①当,此时无极小值；

②当的极小值为,此时无极大值；

③当既无极大值又无极小值.

（20）（本小题满分12分）

　　　某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科

　　　目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证

　　　书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试

　　　成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.

　　（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；

　　（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望E.

    解：设“科目A第一次考试合格”为事件，“科目A补考合格”为事件；“科目B第一次考试合格”为事件，“科目B补考合格”为事件

    (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为,注意到与相互独立，

则.

答：该考生不需要补考就获得证书的概率为.

(Ⅱ)由已知得，＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得

故

答：该考生参加考试次数的数学期望为.

（21）（本小题满分12分）

　　　如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

　　　（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

　   （Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.

      解：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，

              所以,

              因此，椭圆方程为

(Ⅱ) 设

           (?)当直线 AB与x轴重合时，

           (?)当直线AB不与x轴重合时，

              设直线AB的方程为：

               整理得

               所以

               因为恒有，所以AOB恒为钝角.

               即恒成立.

              又，所以对恒成立，

即对恒成立,当时，最小值为0，

所以， ,

因为，即,

解得或(舍去)，即,

综合（i）(ii)，a的取值范围为.

（22）（本小题满分14分）

　　　已知函数

（Ⅰ）求的单调区间；

　　（Ⅱ）记在区间（n∈N*）上的最小值为令

        ①如果对一切n，不等式恒成立，求实数c的取值范围；

②求证：

  解：

（I）因为，所以函数定义域为，且。

由得，的单调递增区间为；

由<0得，的单调递增区间为（0，+）.

(II) 因为在上是减函数，所以

则.

①

>

又lim,

因此，即实数c的取值范围是.

② 由① 知

因为[]²

所以＜(nN^*),

则＜