2008年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数 学(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.

考生注意事项:

1.  答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中“座位号、姓名、科类”与本人座位号、姓名、科类是否一致.

2.  答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.

3.  答第Ⅱ卷时,必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写.在试题卷上作答无效.

4.  考试结束,监考员将试题卷和答题卡一并收回.

参考公式:

如果事件互斥,那么                      球的表面积公式 

                       其中表示球的半径

如果事件相互独立,那么              

                            球的体积公式 

如果随机变量        其中表示球的半径

          

第I卷(选择题共60分)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1).复数    (    )

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A.2            B.-2   C.         D.

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(2).集合则下列结论正确的是(   )

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A.               B.

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C.                        D.

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(3).在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若,则(    )

A. (-2,-4)       B.(-3,-5)   C.(3,5)          D.(2,4)

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(4).已知是两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是(    )

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A.                 B.  

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C.            D.

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(5).将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称,则向量的坐标可能为(    )

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A.                    B.         C.          D.

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(6).设中奇数的个数为(    )

A.2                   B.3              C.4                     D.5

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(7).是方程至少有一个负数根的(    )

A.必要不充分条件                   B.充分不必要条件

C.充分必要条件                     D.既不充分也不必要条件

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(8).若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为(    )

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A.    B.     C.          D.

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(9).在同一平面直角坐标系中,函数的图象与的图象关于直线对称。而函数的图象与的图象关于轴对称,若,则的值是(    )

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  A.                 B.                    C.                   D.

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(10).设两个正态分布的密度函数图像如图所示。则有(    )

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A.    

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B.

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C.           

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D.

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(11).若函数分别是上的奇函数、偶函数,且满足,则有(    )

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A.                   B.

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C.                   D.

(12)12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是(      )

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A.                B.                        C.                    D.

 

2008年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数 学(理科)

第Ⅱ卷(非选择题  共90分)

考生注意事项:

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       请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.

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二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡的相应位置.

(13).函数的定义域为         

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(14)在数列在中,,其中为常数,则的值是       

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(15)若为不等式组表示的平面区域,则当从-2连续变化到1时,动直线 扫过中的那部分区域的面积为             

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(16)已知在同一个球面上,

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,则两点间的球面距离是             

(17).(本小题满分12分)

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三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

已知函数

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(Ⅰ)求函数的最小正周期和图象的对称轴方程

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(Ⅱ)求函数在区间上的值域

 

 

(18).(本小题满分12分

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如图,在四棱锥中,底面四边长为1的菱形,, , ,的中点,的中点

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(Ⅰ)证明:直线

(Ⅱ)求异面直线AB与MD所成角的大小;

(Ⅲ)求点B到平面OCD的距离。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(19).(本小题满分12分)

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为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物。某人一次种植了n株沙柳,各株沙柳成活与否是相互独立的,成活率为p,设为成活沙柳的株数,数学期望,标准差

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(Ⅰ)求n,p的值并写出的分布列;

(Ⅱ)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(20).(本小题满分12分)

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设函数

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(Ⅰ)求函数的单调区间;

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(Ⅱ)已知对任意成立,求实数的取值范围。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(21).(本小题满分13分)

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设数列满足为实数

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(Ⅰ)证明:对任意成立的充分必要条件是

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(Ⅱ)设,证明:;

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(Ⅲ)设,证明:

 

 

 

 

(22).(本小题满分13分)

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设椭圆过点,且着焦点为

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(Ⅰ)求椭圆的方程;

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(Ⅱ)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时,在线段上取点,满足,证明:点总在某定直线上

 

 

试题详情

一.   选择题

1A    2D   3B   4D    5C    6A    7B    8C    9B    10A    11D    12C

二.   13:         14:  1        15:          16:

 

(1).复数    (    )

A.2            B.-2   C.         D.

 解:,选A。

(2).集合则下列结论正确的是(   )

A.               B.

C.                        D.

解:  ,又

,选D。

(3).在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若,则(    )

A. (-2,-4)       B.(-3,-5)   C.(3,5)          D.(2,4)

解:因为,选B。

(4).已知是因为,选B。。

两条不同直线,是三个不同平面,下列命题中正确的是(    )

A.                 B.  

C.            D.

解:  均为直线,其中平行可以相交也可以异面,故A不正确;

m,n⊥α则同垂直于一个平面的两条直线平行;选D。

(5).将函数的图象按向量平移后所得的图象关于点中心对称,则向量的坐标可能为(    )

A.                    B.         C.          D.

解:设平移向量,则函数按向量平移后的表达式为

,因为图象关于点中心对称,

代入得:

k=0得:,选C。本题也可以从选择支出发,逐个排除也可。

(6).设中奇数的个数为(    )

A.2                   B.3              C.4                     D.5

解:由题知,逐个验证知,其它为偶数,选A。

(7).是方程至少有一个负数根的(    )

A.必要不充分条件                   B.充分不必要条件

C.充分必要条件                     D.既不充分也不必要条件

解:当,得a<1时方程有根。a<0时,,方程有负根,又a=1时,方程根为,所以选B

(8).若过点的直线与曲线有公共点,则直线的斜率的取值范围为(    ) A.   B.     C.          D.

解:设直线方程为,即,直线与曲线有公共点,

圆心到直线的距离小于等于半径

,选择C

另外,数形结合画出图形也可以判断C正确。

(9).在同一平面直角坐标系中,函数的图象与的图象关于直线对称。而函数的图象与的图象关于轴对称,若,则的值是(    )

  A.                 B.                    C.                   D.

解:由题知选D。

(10).设两个正态分布的密度函数图像如图所示。则有(    )

A.    

B.

C.

D.

解:根据正态分布函数的性质:正态分布曲线是一条关于对称,在处取得最大值的连续钟形曲线;越大,曲线的最高点越底且弯曲较平缓;反过来,越小,曲线的最高点越高且弯曲较陡峭,选A。

(11).若函数分别是上的奇函数、偶函数,且满足,则有(    )

A.                   B.

C.                   D.

解: 用代换x得:

解得:,而单调递增且大于等于0,,选D。

(12)12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是(      )

A.                B.                        C.                    D.

解:从后排8人中选2人共种选法,这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变,则先从4人中的5个空挡插入一人,有5种插法;余下的一人则要插入前排5人的空挡,有6种插法,故为;综上知选C。

(13).函数的定义域为         

解:由题知:;解得:x≥3.

(14)在数列在中,,其中为常数,则的值是       

解:  从而

∴a=2,,则

(15)若为不等式组表示的平面区域,则当从-2连续变化到1时,动直线 扫过中的那部分区域的面积为             

 

解:如图知是斜边为3 的等腰直角三角形,是直角边为1等腰直角三角形,区域的面积

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16)已知在同一个球面上,

,则两点间的球面距离是             

解:  如图,易得,则此球内接长方体三条棱长为AB、BC、CD(CD的对边与CD等长),从而球外接圆的直径为,R=4则BC与球心构成的大圆如图,因为△OBC为正三角形,则B,C两点间的球面距离是

 

 

 

 

 

 

三.   解答题

17解:(1)

                   

                   

                   

                   

              

函数图象的对称轴方程为

(2)

因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,

所以   当时,去最大值 1

又  ,当时,取最小值

所以 函数 在区间上的值域为

 

 

 

 

 

18 方法一(综合法)

  (1)取OB中点E,连接ME,NE

           

  (2)

       为异面直线所成的角(或其补角)

                  作连接

                 

                 

               

                所以 所成角的大小为

         (3)点A和点B到平面OCD的距离相等,连接OP,过点A作

 于点Q,

              又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

               

                ,所以点B到平面OCD的距离为

方法二(向量法)

于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系

,

(1)

设平面OCD的法向量为,则

,解得

(2)设所成的角为,

   , 所成角的大小为

(3)设点B到平面OCD的交流为,则在向量上的投影的绝对值,

       由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为

 

 

19  (1)由,从而

的分布列为

0

1

2

3

4

5

6

(2)记”需要补种沙柳”为事件A,   则

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