高三摸底数学(理科) 第页(共8页)
赣州市2009年高三年级摸底考试
理 科 数 学2009年3月
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合A＝{x|＜0}，B＝{x|x－2＜2}，则“m∈A”是“m∈B”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.z∈C，若|z|－＝1－2i，则的值是
A.－2 B.－2i C.2 D.2i
3.已知(x－)8展开式中的常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和为
A.28 B
4.在等差数列{an}中，若a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}的前9项之和S9等于
A.66 B
5.设F为抛物线y2＝4x的焦点，△ABC的三个顶点都在此抛物线上，且＋＋＝0，则||＋||＋||等于
A.9 B
6.已知a，b为空间两条异面直线，A是直线a，b外一点，则经过A点与两条异面直线a，b都相交的直线的可能情况为
A.至多有一条 B.至少有一条
C.有且仅有一条 D.有无数条
7.已知f(x)＝1＋log2x(1≤x≤4)，则g(x)＝f(x2)的最大值为
A.1 B
8.有下列命题：
①函数f(x)＝sin x＋(x∈(0，π))的最小值是2；
②在△ABC中，若sin
③如果正实数a，b，c满足a＋b＞c，则＋＞；
④如果y＝f(x)是可导函数，则f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件.
其中正确的命题是
A.①②③④ B.①④ C.②③④ D.②③
9.已知x，y满足约束条件则z＝的最小值为
A. B. C.4 D.－
10.方程2sin θ＝cos θ在区间[0,2π)上解的个数是
A.0个 B.1个 C.2个 D.4个
11.设函数f(x)＝10n＝1|nx－1|≥m恒成立(记ni＝1ai＝a1＋a2＋a3＋…＋an)，则m的取值范围是
A.(－∞，5] B.(－∞，]
C.(－∞，] D.(－∞，]
12.已知C为线段AB上的一点，P为直线AB外一点，满足||－||＝2，|－|＝2，＝，I为PC上一点，且＝＋λ(＋)(λ＞0)，则的值为
A.1 B
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案填写在题中横线上.
13.设随机变量ξ服从标准正态分布N(0,1)，且P(|ξ|＜b)＝a(0＜a＜1，b＞0)，则P(ξ≥b)的值是 (用a表示).
14.已知集合{1，，，…，}，它的所有的三个元素的子集的所有元素之和是Sn，则 ＝ .
15.已知棱长为2的正四面体内切一球，然后在它四个顶点的空隙处各放一个小球，则这些球的最大半径为 .
16.五个同学传一个球，球从小王同学手中首先传出，第五次传球后，球回到小王手中的概率是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
已知△ABC三个内角为A、B、C，若cos Acos Bcos C＞0，且p＝(2－2sin A，cos A＋sin A)与向量q＝(sin A－cos A,1＋sin A)是共线向量.
(1)求∠A的值；
(2)求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.
18.(本小题满分12分)
甲、乙两个人射击，甲射击一次中靶概率是p1，乙射击一次中靶概率是p2，已知、是方程x2－5x＋6＝0的两个根，若两人各射击5次，甲的方差是.
(1)求p1、p2的值；
(2)两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目标，则完成目标的概率是多少？
19.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝－x4＋x3＋ax2－2x－2在区间[－1,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增.
(1)求实数a的值；
(2)若关于x的方程f(2|x|－1)＝m(x≠0)有六个不同的实数解，求实数m的取值范围.
20.(本小题满分12分)
如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12，DC⊥平面ABC，DC＝4，G为△ABC的重心.
(1)若M为GD的中点，求异面直线CG与MB所成角的大小；
(2)若M为线段GD上的动点，求(＋＋)?的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知F1(－2,0)，F2(2,0)，点P满足|PF1|－|PF2|＝2，记点P的轨迹为S，若直线l过点F2且与轨迹S交于P、Q两点.
(1)求轨迹S的方程；
(2)无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M(m,0)，使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值；
(3)过P、Q作直线x＝的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，设PM交AB于E，QM交AB于F，λ＝|AE|?|BF|.求证：当λ取最小值时，△PMQ的面积为9.
22.(本小题满分14分)
设An为数列{an}的前n项和，An＝(an－1)，数列{bn}的通项公式为bn＝4n＋3.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对数列{2nln an}，是否存在等差数列{cn}，使得c1C＋c2C＋…＋cnC＝2nln an对一切正整数n∈N*都成立？若存在，求出数列{cn}的通项公式，若不存在，说明理由.
高三摸底数学(理科)答案 第页(共3页)赣州市2009年高三年级摸底考试
1.A 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7.B 8.C 9.A 10.C 11.C 12.D
13.(1－a) 14.2 15. 16.
17.解：(1)∵p，q共线，
∴(2－2sin A)(1＋sin A)＝(cos A＋sin A)(sin A－cos A)，1分
∴sin2A＝.2分
∵cos Acos Bcos C＞0，∴A为锐角.3分
∴sin A＝，∴A＝.5分
(2)y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos6分
＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos 2B＋cos 2B＋sin 2B8分
＝sin 2B－cos 2B＋1＝sin(2B－)＋1.10分
∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，).11分
∴当2B－＝时，即B＝时，ymax＝2.12分
18.解：(1)由题意可知ξ甲～B(5，p1)，
∴Dξ甲＝5p1(1－p1)＝1分
⇒p－p1＋＝03分
⇒p1＝.4分
又?＝6，∴p2＝.6分
(2)分两类情况：①共击中3次概率C()2()6?C()()＋C??C()2＝.9分
②共击中4次概率C()2?C()2＝.11分
所求概率为＋＝.12分
19.解：(1)由函数f(x)＝－x4＋x3＋ax2－2x－2在区间[－1,1]上是单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以x＝1取得极小值.1分
∴f′(1)＝0，∴－1＋2＋2a－2＝0，3分
∴a＝.4分
(2)由(1)知f(x)＝－x4＋x3＋x2－2x－2，
∴f′(x)＝－x3＋2x2＋x－2.5分
令f′(x)＝0，得x＝－1，x＝1，x＝2.6分
∴函数f(x)有极大值f(－1)＝－，f(2)＝－，极小值f(1)＝－.8分
关于x的方程f(2|x|－1)＝m(x≠0)有六个不同的实数解，令2|x|－1＝t(t＞0)，
即关于t的方程f(t)＝m在t∈(0，＋∞)上有三个不同的实数解.9分
在t∈(0，＋∞)上函数f(t)的图象与直线y＝m的图象在t∈(0，＋∞)上有三个不同的交点，而f(t)的图象与f(x)的图象一致.11分
又f(0)＝－2，由数形结合可知，－＜m＜－.12分
20.解：(1)延长CG交AB于N，∵G是△ABC的重心，∴N是AB的中点.1分
∵∠ACB＝90°，∴CN＝AB＝6，∴CG＝CN＝4.2分
作ME∥GC交DC于E，∴∠EMB是异面直线GC与BM所成的角或补角.3分
∵M是DG的中点，ME＝GC＝2，
BE＝＝＝2.4分
过M作MH⊥GC于H，MH⊥平面ABC，∴MH＝2，
∴MB2＝MH2＋HB2＝4＋4＋36－2?2?6?cos 60°＝32，
∴cos∠EMB＝＝－.5分
∴异面直线GC与BM所成的角为arccos.6分
(2)＋＋＝－(＋＋)，
∵G是△ABC的重心，
∴＋＋＝3.7分
∴(＋＋)?＝－3?.8分
△DGC是等腰直角三角形，DG＝CD＝4.9分
设MG＝x，则MD＝4－x，
∴－3?＝－3||||cos 180°＝3?x?(4－x)10分
≤3()2＝24.11分
∴(＋＋)?的最大值是24.
(当且仅当M为GD的中点时取得).12分
(备注：以上各小题都可以通过建立空间直角坐标系求解，建议参照给分)
21.解：(1)由|PF1|－|PF2|＝2＜|F1F2|知，
点P的轨迹S是以F1、F2为焦点的双曲线右支.1分
由c＝2,2a＝2，∴b2＝3.2分
故轨迹S的方程为x2－＝1(x≥1).4分
(2)当直线l的斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)与双曲线方程联立消y得(k2－3)x2－4k2x＋4k2＋3＝0.
∴解得k2＞3.5分
∵?＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2
＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1－2)(x2－2)
＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋m2＋4k2
＝＋m2.6分
∵MP⊥MQ，∴?＝0，
故得3(1－m2)＋k2(m2－4m－5)＝0对任意的k2＞3恒成立，
∴解得m＝－1.7分
当m＝－1时，MP⊥MQ，
当直线l的斜率不存在时，由P(2,3)，Q(2，－3)及M(－1,0)知结论也成立.
综上，当m＝－1时，MP⊥MQ.8分
(3)由(1)知，存在M(－1,0)使得MP⊥MQ，
∴∠AEP＝∠MEF＝∠BQF，∴△PAE～△FBE，
∴＝.9分
|AE|?|FB|＝|AP|?|BQ|＝?＝|PF2|?|OF2|，
|PF2|＝ex1－a＝2x1－1，|PF2|＝ex2－a＝2x2－1，
∴|AE||FB|＝(2x1－1)(2x2－1)10分
＝[4x1x2－2(x1＋x2)＋1]＝x1x2－＋
＝－＋＝＋＝＋＞.
当斜率不存在时|AE|?|AF|＝，∴λ的最小值为.11分
此时，|PQ|＝6，|MF|＝3，S△PMQ＝|MQ|?|PQ|＝9.12分
22.解：(1)由An＝(an－1)，An＋1＝(an＋1－1)，1分
∴an＋1＝(an＋1－an)，即＝3，2分
且a1＝A1＝(a1－1)，
得a1＝3.3分
∴数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列.4分
通项公式为an＝3n.5分
(2)∵2nln an＝2nln 3n＝(nln 3)?2n
＝2nln 3?2n－1＝2nln 3(1＋1)n－16分
＝2nln 3(C＋C＋…＋C)7分
＝2nln 3(nC＋nC＋nC＋…＋nC)8分
＝2nln 3(C＋2C＋…＋kC＋…nC)9分
＝(2ln 3)C＋(2ln 3)?2C＋…＋(2ln 3)?kC＋…＋(2ln 3)?nC.12分
故存在等差数列{cn}，cn＝(2ln 3)?n对一切正整数n∈N*，c1C＋c2C＋…＋cnC＝2nln an都成立.14分