2008年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)
文科数学(必修+选修Ⅰ)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共12小题,每小题5分,共60分).
2.已知全集,集合,,则集合( D )
A. B. C. D.
解:,所以
3.某林场有树苗30000棵,其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本,则样本中松树苗的数量为( C )
A.30 B.25 C.20 D.15
解:设样本中松树苗的数量为,则
4.已知是等差数列,,,则该数列前10项和等于( B )
A.64 B.100 C.110 D.120
解:设公差为,则由已知得
5.直线与圆相切,则实数等于( C )
A.或 B.或 C.或 D.或
解:圆的方程,圆心到直线的距离等于半径或者
6.“”是“对任意的正数,”的( A )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解:,显然也能推出,所以“”是“对任意的正数,”的充分不必要条件。
7.已知函数,是的反函数,若(),则的值为( D )
A.10 B.4 C.1 D.
解:于是
8.长方体的各顶点都在半径为1的球面上,其中,则两点的球面距离为 ( C )
A. B. C. D.
解:设则
即,在中,
从而点的球面距离为
9.双曲线(,)的左、右焦点分别是,过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点,若垂直于轴,则双曲线的离心率为( B )
A. B. C. D.
解:如图在中,
,
10.如图,到的距离分别是和,与所成的角分别是和,在内的射影分别是和,若,则( D )
C. D.
解:由勾股定理,又,
,,而,所以,得
11.定义在上的函数满足(),,则等于( A ) A.2 B.3 C.6 D.9
解:令,令;
令得
12.为提高信息在传输中的抗干扰能力,通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为(),传输信息为,其中,运算规则为:,,,,例如原信息为111,则传输信息为01111.传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错,则下列接收信息一定有误的是( C )
A.11010 B.01100 C.10111 D.00011
解:C选项传输信息110,,应该接收信息10110。
13.的内角的对边分别为,若,则 .
解: 由正弦定理,于是
二、填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共4小题,每小题4分,共16分).
14.的展开式中的系数为 84 .(用数字作答)
解:,令,
因此展开式中的系数为
15.关于平面向量.有下列三个命题:
①若,则.②若,,则.
③非零向量和满足,则与的夹角为.
其中真命题的序号为 ② .(写出所有真命题的序号)
解:①,向量与垂直
②
③构成等边三角形,与的夹角应为
所以真命题只有②。
16.某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有 96 种.(用数字作答).
解:分两类:第一棒是丙有,第一棒是甲、乙中一人有
因此共有方案种
17.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期及最值;
(Ⅱ)令,判断函数的奇偶性,并说明理由.
解:(Ⅰ).
的最小正周期.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共74分)
当时,取得最小值;当时,取得最大值2.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.又.
.
.
函数是偶函数.
18.(本小题满分12分)
一个口袋中装有大小相同的2个红球,3个黑球和4个白球,从口袋中一次摸出一个球,摸出的球不再放回.
(Ⅰ)连续摸球2次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率;
(Ⅱ)如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过3次的概率.
解:(Ⅰ)从袋中依次摸出2个球共有种结果,第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 种结果,则所求概率 .
(Ⅱ)第一次摸出红球的概率为,第二次摸出红球的概率为,第三次摸出红球的概率为,则摸球次数不超过3次的概率为 .
19.(本小题满分12分)
三棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体如图所示,截面为,,平面,,,,,.
(Ⅱ)求二面角的大小.
解:解法一:(Ⅰ)平面平面,
.在中,,
,,又,
,,即.
平面,平面平面.
(Ⅱ)如图,作交于点,连接,
由已知得平面.
是在面内的射影.
由三垂线定理知,
为二面角的平面角.
过作交于点,
则,,.
在中,.
在中,.,
即二面角为.
则,
,.
点坐标为.
,.
,,,,又,
平面,又平面,平面平面.
(Ⅱ)平面,取为平面的法向量,
设平面的法向量为,则.
,如图,可取,则,
,
即二面角为.
20.(本小题满分12分)
已知数列的首项,,….
(Ⅰ)证明:数列是等比数列;
(Ⅱ)数列的前项和.
解:(Ⅰ) , ,
,又,,
数列是以为首项,为公比的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,即,.
设…, ①
则…,②
由①②得
,
.又….
数列的前项和 .
21.(本小题满分12分)
已知抛物线:,直线交于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点.
(Ⅰ)证明:抛物线在点处的切线与平行;
(Ⅱ)是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由.
解:解法一:(Ⅰ)如图,设,,
把代入得,
,点的坐标为.
设抛物线在点处的切线的方程为,
将代入上式得,
直线与抛物线相切,
,.
即.
(Ⅱ)假设存在实数,使,则,又是的中点,
.
由(Ⅰ)知
.
轴,.
又
.
,解得.即存在,使.
解法二:(Ⅰ)如图,设,把代入得
.由韦达定理得.
,点的坐标为.,,
抛物线在点处的切线的斜率为,.
(Ⅱ)假设存在实数,使.
由(Ⅰ)知,则
,
,,解得.
即存在,使.
22.本小题满分14分)
设函数其中实数.
(Ⅰ)若,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时,记的最小值为,求的值域;
(Ⅲ)若与在区间内均为增函数,求的取值范围.
解:(Ⅰ) ,又,
当时,;当时,,
在和内是增函数,在内是减函数.
(Ⅱ)由题意知 ,
即恰有一根(含重根). ≤,即≤≤,
又, .
当时,才存在最小值,. ,
. 的值域为.
(Ⅲ)当时,在和内是增函数,在内是增函数.
由题意得,解得≥;
当时,在和内是增函数,在内是增函数.
由题意得,解得≤;
综上可知,实数的取值范围为.