高三摸底数学(文科) 第页(共8页)

赣州市2009年高三年级摸底考试

文 科 数 学2009年3月

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.

第Ⅰ卷 (选择题,共60分)

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每一小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若集合A={x|<0},B={x|x-2<2},则“m∈A”是“m∈B”的

A.充分不必要条件          B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

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2.已知函数f(x)=则f[f()]的值是

A.9       B.       C.-9       D.-

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3.已知(x-)8展开式中的常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和为

A.28  B.38  C.1或38  D.1或28

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4.已知椭圆+=1,且m,n,m+n成等差数列,则椭圆的离心率为

A.  B.  C.  D.

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5.有下列命题:

①函数f(x)=sin x+(x∈(0,π))的最小值是2;

②在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则△ABC是等腰三角形或直角三角形;

③如果正实数a,b,c满足a+b>c,则+>;

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④如果y=f(x)是奇函数(x∈R),则有f(0)=0.

其中正确的命题是

A.①②③④  B.①④  C.②③④  D.②③

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6.已知a,b为空间两条异面直线,A是直线a,b外一点,则经过A点与两条异面直线a,b都相交的直线的可能情况为

A.至多有一条  B.至少有一条

C.有且仅有一条  D.有无数条

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7.在等差数列{an}中,若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则数列{an}的前9项之和S9等于

A.66  B.99  C.144  D.297

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8.设F为抛物线y2=4x的焦点,△ABC的三个顶点都在此抛物线上,且++=0,则||+||+||等于

A.3  B.4  C.6  D.9

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9.已知f(x)=1+log2x(1≤x≤4),则g(x)=f(x2)的最大值为

A.1  B.3  C.5  D.9

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10.已知x,y满足约束条件则z=的最小值为

A.  B.  C.4  D.-

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11.方程2sin θ=cos θ在[0,2π)上解的个数是

A.0个  B.1个  C.2个  D.4个

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12.已知C为线段AB上的一点,P为直线AB外一点,满足||-||=2,|-|=2,=,I为PC上一点,且=+λ(+)(λ>0),则的值为

A.1  B.2  C.  D.-1

第Ⅱ卷 (非选择题,共90分)

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二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,答案填写在题中横线上.

13.某市A、B、C三个区共有高中学生20000人,其中A区高中学生9000人,现采用分层抽样的方法从这三个区所属高中学生中抽取一个容量是600人的样本进行新课程学习作业的调查,则A区应抽取    人.

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14.若函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻两条对称轴的距离是2π,则ω的值为    .

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15.已知棱长为2的正四面体内切一球,然后在它四个顶点的空隙处各放一个小球,则这些球的最大半径为    .

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16.五个同学传一个球,球从小王同学手中首先传出,第五次传球后,球回到小王手中的概率是    .

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三、解答题:本大题共6小题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin),且x∈[0,].

(1)求a?b及|a+b|;

(2)若f(x)=a?b-2λ|a+b|的最小值为-,求λ的值.

 

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18.(本小题满分12分)

一个不透明的箱子内装有材质、重量、大小相同的7个小球,且每个小球的球面要么只写有数字“08”,要么只写有文字“奥运”.假定每个小球每一次被取出的机会都相同,从中摸出2个球都写着“奥运”的概率是,现甲、乙两人做游戏,方法是:不放回地从箱子中轮流摸取一个球,甲先取、乙后取,然后甲再取,直到两人中有一人取得写着文字“奥运”的球时游戏结束.

(1)求该箱子内装着写有数字“08”的球的个数;

(2)求当游戏结束时总球数不多于3的概率.

 

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19.(本小题满分12分)

如图,△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,DC⊥平面ABC,DC=4,G为△ABC的重心,M为GD的中点.

(1)求直线DG与平面ABC所成的角;

(2)求异面直线CG与MB所成的角;

(3)求二面角G―MC―B的大小.

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20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=-x4+x3+ax2-2x-2在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增.

(1)求实数a的值;

(2)若关于x的方程f(2x)=m有三个不同的实数解,求实数m的取值范围.

 

 

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21.(本小题满分12分)

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设An为数列{an}的前n项和,An=(an-1),数列{bn}的通项公式为bn=4n+3.

(1)求数列{an}的通项公式;

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(2)把数列{an}与数列{bn}的公共项按从小到大的顺序排成一个新的数列,求证:数列{dn}的通项公式为dn=32n+1.

 

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22.(本小题满分12分)

已知F1(-2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|-|PF2|=2,记点P的轨迹为S,若直线l过点F2且与轨迹S交于P、Q两点.

(1)求轨迹S的方程;

(2)无论直线l绕点F2怎样转动,在x轴上总存在定点M(m,0),使MP⊥MQ恒成立,求实数m的值;

(3)过P、Q作直线x=的垂线PA、QB,垂足分别为A、B,记λ=,求λ的取值范围.

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1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.A 7.B 8.C 9.B 10.A 11.C 12.D

13.270 14. 15. 16.

17.解:(1)a?b=cosx?cos-sinx?sin=cos 2x.2分

|a+b|===2.4分

又∵x∈[0,],∴cos x>0,∴|a+b|=2cos x.5分

(2)f(x)=cos 2x-4λcos x,

即f(x)=2(cos x-λ)2-1-2λ2.6分

①当0≤λ≤1时,当且仅当cos x=λ时,f(x)取得最小值-1-2λ2,

∴-1-2λ2=-,解得λ=.8分

②当λ>1时,当且仅当cos x=1时,f(x)取得最小值1-4λ,

∴1-4λ=-,解得λ=(舍).10分

③当λ<0时,当且仅当cos x=0时,f(x)取得最小值-1,无解.11分

综上所述,λ=为所求.12分

18.解:(1)设箱子内装着n个写有数字“08”的球.

则=.2分

解得n=4.4分

∴该箱子内装有4个写有数字“08”的球.

(2)当游戏结束时,总取球数为1的概率是;6分

当游戏结束时,总取球数为2的概率是×=;8分

当游戏结束时,总取球数为3的概率是××=;10分

∴当游戏结束时,总取球数不多于3的概率是.12分

19.解:(1)延长CG交AB于N,∵G是△ABC的重心,∴N是AB的中点.1分

∵∠ACB=90°,∴CN=AB=6,∴CG=CN=4.2分

而DC⊥平面ABC,∴三角形DCG是等腰直角三角形,

即直线DG与平面ABC所成的角为45°.4分

(2)作ME∥GC交DC于E,∴∠EMB是异面直线GC与BM所成的角或补角.5分

∵M是DG的中点,ME=GC=2,

BE===2.6分

过M作MH⊥GC于H,MH⊥平面ABC,∴MH=2,

∴MB2=MH2+HB2=4+4+36-2?2?6?cos 60°=32,

∴cos∠EMB==-.7分

∴异面直线GC与BM所成的角为arccos.8分

(2)过B作直线BF⊥GC于F, BF⊥平面GMC.9分

∵△CNB是正三角形,故BF=BCcos 30°=3,过F作FS⊥MC于S,连BS,三角形DCG是等腰直角三角形.10分

M为GD的中点,∴GD⊥CM,

∴FS∥GD,FS=FCsin 45°=.11分

∴tan∠FSB==,

∴二面角B―MC―G的大小是arctan.12分

20.解:(1)由函数f(x)=-x4+x3+ax2-2x-2在区间[-1,1]上是单调递减,在区间[1,2]上单调递增,所以x=1取得极小值.1分

∴f′(1)=0,∴-1+2+2a-2=0,3分

∴a=.4分

(2)由(1)知f(x)=-x4+x3+x2-2x-2,

∴f′(x)=-x3+2x2+x-2.5分

令f′(x)=0,得x=-1,x=1,x=2.6分

∴函数f(x)有极大值f(-1)=-,f(2)=-,极小值f(1)=-.8分

∵关于x的方程f(2x)=m有三个不同的实数解,令2x=t(t>0),

即关于t的方程f(t)=m在t∈(0,+∞)上有三个不同的实数解.9分

在t∈(0,+∞)上y=f(t)与y=f(x)图象一致.11分

又f(0)=-2,由数形结合可知,-<m<-.12分

21.解:(1)由An=(an-1),An+1=(an+1-1).1分

∴an+1=(an+1-an),即=3,2分

且a1=A1=(a1-1),

得a1=3.3分

∴数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列.4分

通项公式为an=3n.5分

(2)不妨设数列{dn}中的第n项分别是数列{an}的第p项和数列{bn}的第q项,即3p=4q+3.6分

所以(4-1)p=4q+3.7分

∴C4p+C4p-1(-1)1+…+C4?(-1)p-1+C(-1)p=4q+3.8分

4q=4k+(-1)p-3,(k∈Z,p,q∈Z*).9分

p为奇数,当p=1时,q=0(舍去).10分

∴p=2n+1,所以dn=a2n+1=32n+1.12分

22.解:(1)由|PF1|-|PF2|=2<|F1F2|知,点P的轨迹S是以F1、F2为焦点的双曲线右支,由c=2,2a=2,∴b2=3.2分

故轨迹S的方程为x2-=1(x≥1).4分

(2)当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-2),P(x1,y1),Q(x2,y2)与双曲线方程联立消y得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0.5分

∴解得k2>3.6分

∵?=(x1-m)(x2-m)+y1y2

=(x1-m)(x2-m)+k2(x1-2)(x2-2)

=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+m2+4k2

=+m2.7分

∵MP⊥MQ,∴?=0,

故得3(1-m2)+k2(m2-4m-5)=0对任意的k2>3恒成立,

∴解得m=-1.8分

当m=-1时,MP⊥MQ,当直线l的斜率不存在时,由P(2,3),Q(2,-3)及M(-1,0)知结论也成立.

综上,当m=-1时,MP⊥MQ.9分

(3)∵a=1,c=2,∴x=是双曲线的右准线.10分

由双曲线定义得:|PA|=|PF2|=|PF2|,|QB|=|QF2|.

(法一)∴λ==

===11分

∵k2>3,∴0<< ,故<λ<.12分

注意到直线的斜率不存在时,|PQ|=|AB|,此时,λ=.13分

综上,λ∈[,).14分

(法二)设直线PQ的倾斜角为θ,由于直线PQ与双曲线右支有二个交点,

∴<θ<,过Q作QC⊥PA,垂足为C,则∠PQC=|-θ|,

∴λ====.12分

由<θ<得,<sin θ≤1,故λ∈[,].14分