2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数 学（供文科考生使用）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S=4πR2
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A?B)=P(A) ?P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 V=πR3
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
Pn(k)=CknPk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
在平面直角坐标系xOy中，点P到两点（0，－）、（0，）的距离之和等于4.设点P的轨迹为C.
(Ⅰ)写出C的方程；
(Ⅱ)设直线y=kx+1与C交于A、B两点.k为何值时此时||的值是多少？
(22)（本小题满分14分）
设函数f(x)=ax3+bx2－3a2x+1(a、b∈R)在x=x1，x=x2处取得极值，且|x1－x2|=2.
(Ⅰ)若a=1，求b的值，并求f(x)的单调区间；
(Ⅱ)若a＞0，求b的取值范围.
2008年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学（供文科考生使用）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径
球的体积公式
如果事件在一次试验中发生的概率是，那么
次独立重复试验中事件恰好发生次的概率
其中表示球的半径
只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ D ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：本小题主要考查集合的相关运算知识。依题意
，∴.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
2．若函数为偶函数，则a=（ C ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：本小题主要考查函数的奇偶性。
3．圆与直线没有公共点的充要条件是（ B ）
A． B．
C． D．
答案：B
解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系。依题圆与直线
没有公共点
4．已知，，，，则（ C ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：本小题主要考查对数的运算。
由知其为减函数,
5．已知四边形的三个顶点，，，且，
则顶点的坐标为（ A ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：本小题主要考查平面向量的基本知识。
且，
6．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线
倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ A ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题。依题设切点的横坐标
为, 且（为点P处切线的倾斜角），又∵，
∴，∴
7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，
则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ C ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。依题要使取出的2张卡片上的数字之和
为奇数，则取出的2张卡片上的数字必须一奇一偶，∴取出的2张卡片上的数字之
和为奇数的概率
8．将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（ A ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：本小题主要考查函数图像的平移与向量的关系问题。依题由函数
的图象得到函数的图象，需将函数的图象向左平移1个
单位，向下平移1个单位；故
9．已知变量满足约束条件则的最大值为（ B ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：本小题主要考查线性规划问题。作图(略)易知可行域为一个三角形,其三个顶点为
验证知在点时取得最大值2.
10．一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看．现从甲、乙、丙等6名工人中
安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序
只能从甲、丙两工人中安排1人，则不同的安排方案共有（ B ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
答案：B
解析：本小题主要考查排列组合知识。依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由甲、丙二人之一来完成，故完成方案共有种；∴则不同的安排方案共有
种。
11．已知双曲线的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，
则（ D ）
A．1 B．2 C．3 D．4
答案：D
解析：本小题主要考查双曲线的知识。取
顶点,一条渐近线为
12．在正方体中，分别为棱，的中点，
则在空间中与三条直线，，都相交的直线（ D ）
A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条
答案：D
解析：本小题主要考查立体几何中空间直线相交问题，考查学生
的空间想象能力。在EF上任意取一点M,直线与M
确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N, 当
M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的
交点N,而直线MN与这3条异面直线都有交点的.如右图：
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
答案：
解析：本小题主要考查反函数问题。
所以反函数是
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
14．在体积为的球的表面上有A、B，C三点，AB=1，BC=，A，C两点的
球面距离为，则球心到平面ABC的距离为_________．
答案：
解析：本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离。设球的半径为,则
,∴设、两点对球心张角为，则
,∴,∴,∴为所在平
面的小圆的直径，∴,设所在平面的小圆圆心为，
则球心到平面ABC的距离为
15．展开式中的常数项为 ．
答案：35
解析：本小题主要考查二项式定理中求特定项问题。考查的通项公式,
所以展开式中的常数项共有两种来源:
①②
相加得15+20=35.
16．设，则函数的最小值为 ．
答案：
解析：本小题主要考查三角函数的最值问题。
取的左半圆,作图(略)易知
17．（本小题满分12分）
在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
本小题主要考查三角形的边角关系等基础知识，考查综合计算能力．满分12分．
解：（Ⅰ）由余弦定理得，，
又因为的面积等于，所以，得．???????????????????????????? 4分
联立方程组解得，．?????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为，?????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
联立方程组解得，．
所以的面积．?????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分12分）
某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果
如下表所示：
周销售量
2
3
4
频数
20
50
30
（Ⅰ）根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率；
（Ⅱ）若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求
（?）4周中该种商品至少有一周的销售量为4吨的概率；
（?）该种商品4周的销售量总和至少为15吨的概率．
本小题主要考查频率、概率等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分．
解：（Ⅰ）周销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3．?????????????????????????? 4分
（Ⅱ）由题意知一周的销售量为2吨，3吨和4吨的频率分别为0.2，0.5和0.3，
故所求的概率为
（?）．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
（?）．??????????????????????????????????????????????????????? 12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；
（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，
并求出这个值；
（Ⅲ）若，求与平面PQEF所成角的正弦值．
本小题主要考查空间中的线面关系和面面关系，解三角形等基础知识，
考查空间想象能力与逻辑思维能力．满分12分．
解法一：
（Ⅰ）证明：在正方体中，，，
又由已知可得，，，
所以，，所以平面．
所以平面和平面互相垂直．?????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是
，是定值．?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
（Ⅲ）解：设交于点，连结，
所以为与平面所成的角．
因为，所以分别为
，，，的中点．
可知，．
所以．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
解法二：
以D为原点，射线DA，DC，DD′分别为x，y，z轴的正半轴建立如图的空间
直角坐标系D－xyz．由已知得，故
，，，
，，．
（Ⅰ）证明：在所建立的坐标系中，可得
，
，
．
因为，所以是平面PQEF的法向量．
因为，所以是平面PQGH的法向量．
因为，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直．…4分
（Ⅱ）证明：因为，所以，又，
所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形．
在所建立的坐标系中可求得，，
所以，又，
所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值．???????????????????????????? 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面的法向量．
由为中点可知，分别为，，的中点．
所以，，因此与平面所成角的正弦值等于
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
20．（本小题满分12分）
在数列，是各项均为正数的等比数列，设．
（Ⅰ）数列是否为等比数列？证明你的结论；
（Ⅱ）设数列，的前项和分别为，．若，，
求数列的前项和．
本小题主要考查等差数列，等比数列，对数等基础知识，
考查综合运用数学知识解决问题的能力．满分12分．
解：（Ⅰ）是等比数列．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
证明：设的公比为，的公比为，则
，故为等比数列．?????????????????????????????????? 5分
（Ⅱ）数列和分别是公差为和的等差数列．
由条件得，即
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
故对，，…，
．于是
将代入得，，．???????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
从而有．所以数列的前项和为
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
21．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系中，点P到两点，的距离之和等于4，
设点P的轨迹为．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线与C交于A，B两点．k为何值时？
此时的值是多少？
本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，
考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分12分．
解：
（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴，
故曲线C的方程为．????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）设，其坐标满足
消去y并整理得，
故．??????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
，即．而，
于是．
所以时，，故．???????????????????????????????????????????????????????? 8分
当时，，．
，
而，
所以．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
22．（本小题满分14分）
设函数在，处取得极值，
且．
（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；
（Ⅱ）若，求的取值范围．
本小题主要考查函数的导数，单调性、极值，最值等基础知识，
考查综合利用导数研究函数的有关性质的能力．满分14分
解：．①???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
（Ⅰ）当时，；
由题意知为方程的两根，所以．
由，得．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
从而，．
当时，；当时，．
故在单调递减，在，单调递增．???????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，
所以．从而，
由上式及题设知．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
考虑，．?????????????????????????????????? 10分
故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．
又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为．所以，即的取值范围为． 14分